La fonction carré

Définition

La fonction carré est définie sur $\mathbb{R}$ par :

Représentation graphique : la parabole

La courbe représentative de la fonction carré est une parabole, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (l'axe $x=0$), avec un sommet à l'origine $(0\ ;\ 0)$.

Propriété de symétrie : pour tout réel $x$, $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. Deux nombres opposés ont la même image.

Tableau de variations

|---|---|---|---|---|---|

La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\ ;\ 0]$ et croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$. Elle admet un minimum égal à $0$, atteint en $x=0$.

Comparer des carrés

Attention : pour $a$ et $b$ de même signe, $a < b \implies a^2$ et $b^2$ ne sont pas nécessairement dans le même ordre que $a$ et $b$ !

Exemple : $-3 < -1$ mais $(-3)^2 = 9 > (-1)^2 = 1$ (car la fonction carré est décroissante sur les négatifs).

Sur $[0\ ;\ +\infty[$ en revanche, la fonction carré conserve l'ordre : $0 \leqslant a < b \implies a^2 < b^2$.