Sens de variation et tableau de variations

Fonction croissante, décroissante

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

- $f$ est croissante sur $I$ si, pour tous $a, b \in I$ avec $a < b$, on a $f(a) \leqslant f(b)$ : quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente (ou reste constant).
- $f$ est décroissante sur $I$ si, pour tous $a, b \in I$ avec $a<b$, on a $f(a) \geqslant f(b)$ : quand $x$ augmente, $f(x)$ diminue (ou reste constant).

Image mentale : une fonction croissante "monte" en se déplaçant vers la droite ; une fonction décroissante "descend".

Le tableau de variations

Le tableau de variations résume, sur des intervalles successifs, si la fonction est croissante (flèche montante ↗) ou décroissante (flèche descendante ↘).

Exemple : pour une fonction $f$ définie sur $[-3\ ;\ 5]$, décroissante sur $[-3\ ;\ 1]$ puis croissante sur $[1\ ;\ 5]$ :

|---|---|---|---|---|---|

Maximum et minimum

- $f$ admet un maximum $M$ en $x_0$ sur $I$ si $f(x_0) = M$ et $f(x) \leqslant M$ pour tout $x \in I$.
- $f$ admet un minimum $m$ en $x_0$ sur $I$ si $f(x_0) = m$ et $f(x) \geqslant m$ pour tout $x \in I$.

Dans le tableau de variations, le maximum ou minimum local correspond à la valeur de $f(x_0)$ inscrite au sommet ou au creux d'une flèche (changement de sens de variation).