Bases orthonormées et projections orthogonales

Bases orthonormées et projections orthogonales

### 1. Bases orthogonales et orthonormées

Une famille de vecteurs $(\vec{e_1},\ldots,\vec{e_n})$ est orthogonale si les vecteurs sont deux à deux orthogonaux : $\vec{e_i}\cdot\vec{e_j}=0$ pour $i\neq j$. Elle est orthonormée si, en plus, chaque vecteur est unitaire : $\|\vec{e_i}\|=1$ pour tout $i$, c'est-à-dire $\vec{e_i}\cdot\vec{e_j}=\delta_{ij}$ (symbole de Kronecker).

Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est automatiquement libre (exercice de la leçon précédente), donc une famille orthonormée de $n$ vecteurs dans un espace de dimension $n$ en est une base orthonormée.

Coordonnées dans une base orthonormée : si $(\vec{e_1},\ldots,\vec{e_n})$ est une base orthonormée, tout vecteur $\vec x$ s'écrit $\vec x = \sum_{i=1}^n x_i\vec{e_i}$ avec $x_i = \vec x\cdot\vec{e_i}$ (chaque coordonnée se calcule simplement par un produit scalaire, contrairement à une base quelconque qui nécessite de résoudre un système).

### 2. Procédé de Gram-Schmidt (cas simple, 2 puis 3 vecteurs)

Le procédé de Gram-Schmidt transforme une base quelconque $(\vec{u_1},\vec{u_2})$ en une base orthonormée $(\vec{e_1},\vec{e_2})$ du même espace :

1. $\vec{v_1} = \vec{u_1}$, puis $\vec{e_1} = \dfrac{\vec{v_1}}{\|\vec{v_1}\|}$ (normalisation) ;
2. $\vec{v_2} = \vec{u_2} - (\vec{u_2}\cdot\vec{e_1})\,\vec{e_1}$ (on retire à $\vec{u_2}$ sa composante selon $\vec{e_1}$, ce qui le rend orthogonal à $\vec{e_1}$), puis $\vec{e_2}=\dfrac{\vec{v_2}}{\|\vec{v_2}\|}$.

Pour 3 vecteurs $(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3})$, on poursuit : $\vec{v_3}=\vec{u_3}-(\vec{u_3}\cdot\vec{e_1})\vec{e_1}-(\vec{u_3}\cdot\vec{e_2})\vec{e_2}$, puis $\vec{e_3}=\vec{v_3}/\|\vec{v_3}\|$.

Exemple résolu : orthonormaliser $\vec{u_1}=(1,1,0)$, $\vec{u_2}=(1,0,1)$.

$\vec{e_1} = \dfrac{(1,1,0)}{\sqrt2} = \left(\dfrac{1}{\sqrt2},\dfrac{1}{\sqrt2},0\right)$.

$\vec{u_2}\cdot\vec{e_1} = \dfrac{1}{\sqrt2}$. Donc $\vec{v_2} = (1,0,1) - \dfrac{1}{\sqrt2}\left(\dfrac{1}{\sqrt2},\dfrac{1}{\sqrt2},0\right) = \left(\dfrac12,-\dfrac12,1\right)$.

$\|\vec{v_2}\| = \sqrt{\frac14+\frac14+1}=\sqrt{\frac32}$, donc $\vec{e_2} = \dfrac{1}{\sqrt{3/2}}\left(\dfrac12,-\dfrac12,1\right)$.

### 3. Projection orthogonale sur une droite

La projection orthogonale d'un vecteur $\vec x$ sur la droite vectorielle dirigée par $\vec u$ (non nul) est :

C'est l'unique vecteur colinéaire à $\vec u$ tel que $\vec x - \text{proj}_{\vec u}(\vec x)$ soit orthogonal à $\vec u$.

Exemple : projeter $\vec x=(3,4)$ sur la droite dirigée par $\vec u=(1,0)$ : $\text{proj}_{\vec u}(\vec x) = \dfrac{3\times1+4\times0}{1}(1,0) = (3,0)$.

### 4. Projection orthogonale sur un plan

Pour projeter $\vec x$ orthogonalement sur un plan $\mathcal P$ engendré par une base orthonormée $(\vec{e_1},\vec{e_2})$ de $\mathcal P$ :

Méthode alternative (via le vecteur normal) : si $\vec n$ est un vecteur normal au plan, $\text{proj}_{\mathcal P}(\vec x) = \vec x - \text{proj}_{\vec n}(\vec x)$ (on retire la composante normale).

Exemple résolu : projeter $\vec x=(1,2,3)$ sur le plan $\mathcal P$ d'équation $z=0$ (le plan $xOy$, de normal $\vec n=(0,0,1)$).

$\text{proj}_{\vec n}(\vec x) = \dfrac{1\times0+2\times0+3\times1}{1}(0,0,1)=(0,0,3)$. Donc $\text{proj}_{\mathcal P}(\vec x) = (1,2,3)-(0,0,3)=(1,2,0)$ — résultat cohérent avec l'intuition (on annule juste la coordonnée $z$).

### 5. Propriétés des projections orthogonales

- La projection orthogonale est linéaire ;
- $\text{proj}_{\vec u}(\text{proj}_{\vec u}(\vec x)) = \text{proj}_{\vec u}(\vec x)$ (projeter deux fois ne change rien : c'est un projecteur, idempotent) ;
- $\vec x - \text{proj}_{\mathcal P}(\vec x)$ est orthogonal à tout vecteur de $\mathcal P$ ;
- $\|\text{proj}_{\mathcal P}(\vec x)\| \leq \|\vec x\|$, avec égalité si et seulement si $\vec x \in \mathcal P$ (la projection orthogonale est la meilleure approximation de $\vec x$ dans $\mathcal P$ au sens de la distance euclidienne).

### 6. Résumé méthodologique

| Tâche | Formule |
|---|---|
| Coordonnée dans une BON | $x_i=\vec x\cdot\vec{e_i}$ |
| Gram-Schmidt (étape $k$) | retirer les composantes selon $\vec{e_1},\ldots,\vec{e_{k-1}}$, puis normaliser |
| Projection sur une droite $\vec u$ | $\dfrac{\vec x\cdot\vec u}{\|\vec u\|^2}\vec u$ |
| Projection sur un plan (via normal $\vec n$) | $\vec x - \text{proj}_{\vec n}(\vec x)$ |