Droites et plans dans l'espace

Droites et plans dans l'espace

### 1. Représentation paramétrique d'une droite

Une droite $\mathcal{D}$ de $\mathbb{R}^3$ passant par un point $A(x_0,y_0,z_0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}=(a,b,c)$ (non nul) admet la représentation paramétrique :

Un point $M(x,y,z)$ appartient à $\mathcal{D}$ si et seulement s'il existe $t\in\mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{AM} = t\vec u$.

Exemple : la droite passant par $A(1,2,-1)$ de vecteur directeur $\vec u=(2,0,1)$ a pour représentation $x=1+2t,\ y=2,\ z=-1+t$.

### 2. Équation cartésienne d'un plan

Un plan $\mathcal{P}$ passant par $A(x_0,y_0,z_0)$ et de vecteur normal $\vec n=(a,b,c)$ (non nul, orthogonal au plan) admet l'équation cartésienne :

avec $d=-(ax_0+by_0+cz_0)$.

Représentation paramétrique d'un plan : à partir d'un point $A$ et de deux vecteurs directeurs $\vec u,\vec v$ non colinéaires :

Lien entre les deux représentations : le vecteur normal $\vec n$ du plan engendré par $\vec u, \vec v$ s'obtient via le produit vectoriel $\vec n = \vec u \wedge \vec v$.

Exemple résolu : trouver l'équation cartésienne du plan passant par $A(1,0,0)$, $B(0,1,0)$, $C(0,0,1)$.

On forme $\vec{AB}=(-1,1,0)$ et $\vec{AC}=(-1,0,1)$. Le vecteur normal $\vec n = \vec{AB}\wedge\vec{AC} = (1\times1-0\times0,\ 0\times(-1)-(-1)\times1,\ (-1)\times0-1\times(-1)) = (1,1,1)$. L'équation est $1(x-1)+1(y-0)+1(z-0)=0$, soit $x+y+z-1=0$.

### 3. Position relative de deux droites

Deux droites $\mathcal{D}_1$ (vecteur directeur $\vec{u_1}$) et $\mathcal{D}_2$ (vecteur directeur $\vec{u_2}$) dans l'espace peuvent être :

- parallèles si $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ sont colinéaires (confondues si en plus elles partagent un point, strictement parallèles sinon) ;
- sécantes si $\vec{u_1}, \vec{u_2}$ ne sont pas colinéaires et que les droites ont un point commun (elles sont alors coplanaires) ;
- non coplanaires (gauches) si $\vec{u_1}, \vec{u_2}$ ne sont pas colinéaires et qu'elles n'ont aucun point commun.

Méthode : on teste d'abord la colinéarité des vecteurs directeurs ; si non colinéaires, on résout le système formé par les deux représentations paramétriques pour chercher un point commun.

### 4. Position relative droite/plan, plan/plan

Une droite $\mathcal{D}$ (vecteur directeur $\vec u$) et un plan $\mathcal{P}$ (vecteur normal $\vec n$) sont :
- parallèles si $\vec u \cdot \vec n = 0$ (la droite est incluse dans $\mathcal{P}$, ou strictement parallèle, selon qu'un point de $\mathcal D$ vérifie ou non l'équation de $\mathcal P$) ;
- sécants en un point sinon (on substitue la représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ dans l'équation de $\mathcal P$ et on résout en $t$).

Deux plans $\mathcal P_1$ (normal $\vec{n_1}$) et $\mathcal P_2$ (normal $\vec{n_2}$) sont parallèles si $\vec{n_1}, \vec{n_2}$ sont colinéaires (confondus ou strictement parallèles), et sécants suivant une droite sinon.

### 5. Distance d'un point à une droite, à un plan

Distance d'un point $M$ à un plan $\mathcal P : ax+by+cz+d=0$ :

Distance d'un point $M$ à une droite $\mathcal D$ passant par $A$ de vecteur directeur $\vec u$ :

Exemple résolu : distance de $M(1,1,1)$ au plan $\mathcal P : x+y+z-1=0$.

### 6. Résumé méthodologique

| Objet | Donnée nécessaire | Représentation |
|---|---|---|
| Droite | 1 point + 1 vecteur directeur | paramétrique |
| Plan | 1 point + 1 vecteur normal | cartésienne |
| Plan | 1 point + 2 vecteurs directeurs non colinéaires | paramétrique |