Produit scalaire et orthogonalité

Produit scalaire et orthogonalité

### 1. Définition du produit scalaire

Pour $\vec u=(u_1,u_2,u_3)$ et $\vec v=(v_1,v_2,v_3)$ dans $\mathbb{R}^3$, le produit scalaire est :

Géométriquement, $\vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta$, où $\theta$ est l'angle (non orienté) entre $\vec u$ et $\vec v$, et $\|\vec u\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$ est la norme de $\vec u$.

### 2. Propriétés du produit scalaire

Pour tous vecteurs $\vec u,\vec v,\vec w$ et tout scalaire $\lambda$ :
- Symétrie : $\vec u\cdot\vec v = \vec v\cdot\vec u$ ;
- Bilinéarité : $\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w$ et $(\lambda\vec u)\cdot\vec v=\lambda(\vec u\cdot\vec v)$ ;
- Positivité : $\vec u\cdot\vec u = \|\vec u\|^2 \geq 0$, avec égalité si et seulement si $\vec u=\vec 0$ ;
- Inégalité de Cauchy-Schwarz : $|\vec u\cdot\vec v| \leq \|\vec u\|\,\|\vec v\|$, avec égalité si et seulement si $\vec u,\vec v$ sont colinéaires.

### 3. Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs $\vec u,\vec v$ sont orthogonaux si $\vec u\cdot\vec v=0$ (notation $\vec u\perp\vec v$). Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

Exemple : $\vec u=(1,2,-1)$ et $\vec v=(3,-1,1)$ : $\vec u\cdot\vec v = 3-2-1=0$, donc $\vec u\perp\vec v$.

### 4. Calcul d'angles

L'angle $\theta\in[0,\pi]$ entre deux vecteurs non nuls $\vec u,\vec v$ se calcule par :

Exemple résolu : angle entre $\vec u=(1,0,0)$ et $\vec v=(1,1,0)$.

### 5. Droites et plans orthogonaux

- Une droite $\mathcal D$ de vecteur directeur $\vec u$ est orthogonale à un plan $\mathcal P$ de vecteur normal $\vec n$ si $\vec u$ et $\vec n$ sont colinéaires (la droite est alors perpendiculaire au plan, et $\vec u$ peut servir de vecteur normal à $\mathcal P$).
- Deux plans $\mathcal P_1$ (normal $\vec{n_1}$), $\mathcal P_2$ (normal $\vec{n_2}$) sont orthogonaux si $\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0$.
- Deux droites de vecteurs directeurs $\vec{u_1},\vec{u_2}$ sont orthogonales si $\vec{u_1}\cdot\vec{u_2}=0$ (qu'elles soient sécantes ou non coplanaires : l'orthogonalité ne concerne que les directions).

Exemple résolu : le plan $\mathcal P: x+y+z=1$ a pour normal $\vec n=(1,1,1)$. La droite de vecteur directeur $\vec u=(1,1,1)$ (colinéaire à $\vec n$) est donc orthogonale à $\mathcal P$.

### 6. Preuve de Cauchy-Schwarz

Pour $\vec u,\vec v$ non nuls et $t\in\mathbb{R}$, considérons $f(t) = \|\vec u+t\vec v\|^2 = \|\vec v\|^2t^2+2(\vec u\cdot\vec v)t+\|\vec u\|^2 \geq 0$ pour tout $t$ (positivité du produit scalaire). C'est un trinôme du second degré en $t$, toujours $\geq 0$, donc son discriminant est $\leq 0$ :

En prenant la racine carrée : $|\vec u\cdot\vec v|\leq\|\vec u\|\|\vec v\|$. $\square$

### 7. Résumé

| Configuration | Condition |
|---|---|
| $\vec u \perp \vec v$ | $\vec u\cdot\vec v=0$ |
| Droite $\perp$ plan | vecteur directeur colinéaire au normal |
| Plan $\perp$ plan | produit scalaire des normaux nul |
| Cauchy-Schwarz | $|\vec u\cdot\vec v|\leq\|\vec u\|\|\vec v\|$ |