Courbes paramétrées et courbure

Courbes paramétrées et courbure

1. Courbes paramétrées régulières

Une courbe paramétrée dans $\mathbb{R}^n$ ($n=2$ ou $3$) est une application $\gamma:I\to\mathbb{R}^n$ de classe $\mathcal{C}^k$ ($k\geq2$) sur un intervalle $I$. Elle est dite régulière si $\gamma'(t)\neq0$ pour tout $t\in I$ : le vecteur $\gamma'(t)$ est alors tangent à la courbe et non nul, ce qui exclut les points anguleux ou les rebroussements.

Exemples : le cercle $\gamma(t)=(R\cos t, R\sin t)$, l'hélice $\gamma(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)$, la parabole $\gamma(t)=(t,t^2)$.

2. Longueur d'arc et paramétrage par longueur d'arc

La longueur d'arc entre $t_0$ et $t$ est $s(t)=\displaystyle\int_{t_0}^t \|\gamma'(u)\|\,du$. Une courbe est paramétrée par longueur d'arc (ou par abscisse curviligne) si $\|\gamma'(s)\|=1$ pour tout $s$ : le paramètre coïncide alors avec la longueur parcourue depuis l'origine.

Théorème : toute courbe régulière admet une reparamétrisation par longueur d'arc (en posant $s=s(t)$, qui est strictement croissante donc inversible). En pratique, on travaille souvent avec un paramétrage arbitraire $t$ et on adapte les formules par un facteur $\|\gamma'(t)\|$ (la vitesse).

3. Vecteur tangent unitaire et courbure (plan)

Pour une courbe plane paramétrée par longueur d'arc $s$, on note $T(s)=\gamma'(s)$ le vecteur tangent unitaire. La courbure $\kappa(s)$ est définie par :

où $N(s)$ est le vecteur normal unitaire, obtenu en faisant tourner $T(s)$ de $+90°$. La courbure mesure la vitesse de rotation de la tangente : $\kappa=0$ pour une droite, $\kappa=1/R$ (constante) pour un cercle de rayon $R$.

Formule pour un paramétrage quelconque (non nécessairement par longueur d'arc), pour une courbe plane $\gamma(t)=(x(t),y(t))$ :

Exemple — cercle de rayon $R$ : $\gamma(t)=(R\cos t,R\sin t)$. On calcule $x'=-R\sin t$, $y'=R\cos t$, $x''=-R\cos t$, $y''=-R\sin t$. Le numérateur vaut $x'y''-y'x''=R^2\sin^2t+R^2\cos^2t=R^2$, et $(x'^2+y'^2)^{3/2}=R^3$, donc $\kappa=R^2/R^3=1/R$ : la courbure est bien constante, égale à l'inverse du rayon.

4. Courbes dans l'espace : repère de Frenet

Pour une courbe régulière dans $\mathbb{R}^3$, on définit en chaque point (où $\gamma'\times\gamma''\neq0$) le repère de Frenet $(T,N,B)$ :
- $T=\gamma'/\|\gamma'\|$ : tangente unitaire ;
- $B=(\gamma'\times\gamma'')/\|\gamma'\times\gamma''\|$ : binormale unitaire ;
- $N=B\times T$ : normale principale (complète le repère orthonormé direct).

Courbure : $\kappa = \dfrac{\|\gamma'\times\gamma''\|}{\|\gamma'\|^3}$ ; torsion : $\tau = \dfrac{(\gamma'\times\gamma'')\cdot\gamma'''}{\|\gamma'\times\gamma''\|^2}$.

La torsion mesure à quelle vitesse la courbe « sort » de son plan osculateur (le plan engendré par $T$ et $N$) : une courbe plane a une torsion nulle partout ; une hélice a une torsion constante non nulle.

5. Exemple résolu — l'hélice

Pour l'hélice $\gamma(t)=(a\cos t, a\sin t, bt)$ ($a,b>0$) : $\gamma'(t)=(-a\sin t,a\cos t,b)$, $\|\gamma'(t)\|=\sqrt{a^2+b^2}$ (vitesse constante). On calcule $\gamma''(t)=(-a\cos t,-a\sin t,0)$, $\gamma'\times\gamma''=(ab\sin t,-ab\cos t,a^2)$, de norme $a\sqrt{a^2+b^2}$. D'où :

Avec $\gamma'''(t)=(a\sin t,-a\cos t,0)$, on trouve $\tau=\dfrac{b}{a^2+b^2}$ (calcul direct du produit mixte). Remarquablement, $\kappa$ et $\tau$ sont constantes pour l'hélice — c'est en fait la seule courbe (à isométrie près) ayant courbure et torsion constantes non nulles simultanément.

6. Formules de Frenet-Serret

Le repère $(T,N,B)$ évolue selon les formules de Frenet-Serret (par rapport à l'abscisse curviligne $s$) :

Ces formules sont l'analogue, pour les courbes de l'espace, du couple $(T',N')$ du cas plan ; elles montrent que courbure et torsion déterminent entièrement la courbe (à un déplacement rigide près) — c'est le théorème fondamental des courbes.

7. Récapitulatif

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