Surfaces paramétrées et première forme fondamentale

Surfaces paramétrées et première forme fondamentale

1. Surfaces paramétrées

Une surface paramétrée est une application $X:U\to\mathbb{R}^3$ ($U\subset\mathbb{R}^2$ ouvert) de classe $\mathcal{C}^2$, régulière : les dérivées partielles $X_u=\partial X/\partial u$ et $X_v=\partial X/\partial v$ sont linéairement indépendantes en tout point (donc $X_u\times X_v\neq0$). Le plan engendré par $X_u,X_v$ en un point est le plan tangent à la surface en ce point.

Exemples : le plan $X(u,v)=(u,v,0)$ ; la sphère de rayon $R$, $X(u,v)=(R\cos u\sin v,R\sin u\sin v,R\cos v)$ pour $u\in[0,2\pi[$, $v\in\,]0,\pi[$ ; le cylindre $X(u,v)=(R\cos u,R\sin u,v)$.

2. Première forme fondamentale

La première forme fondamentale $I$ mesure les longueurs et angles sur la surface (la métrique induite par le produit scalaire de $\mathbb{R}^3$). On définit les coefficients :

et pour un vecteur tangent $w=aX_u+bX_v$ :

Élément d'aire : $dA = \sqrt{EG-F^2}\,du\,dv$ ; longueur d'une courbe $u(t),v(t)$ tracée sur la surface : $L=\displaystyle\int\sqrt{Eu'^2+2Fu'v'+Gv'^2}\,dt$.

3. Exemple résolu — le plan

Pour $X(u,v)=(u,v,0)$ : $X_u=(1,0,0)$, $X_v=(0,1,0)$, donc $E=1,F=0,G=1$. La première forme fondamentale est $I=a^2+b^2$ : c'est simplement la métrique euclidienne usuelle, sans surprise puisque $X$ est l'identité du plan $xOy$ plongé dans $\mathbb{R}^3$.

4. Exemple résolu — la sphère

Pour $X(u,v)=(R\cos u\sin v,R\sin u\sin v,R\cos v)$ :

Calcul direct : $E=X_u\cdot X_u=R^2\sin^2v$, $F=X_u\cdot X_v=0$, $G=X_v\cdot X_v=R^2$. La première forme fondamentale est donc $I=R^2\sin^2v\,a^2+R^2b^2$, et l'élément d'aire :

(pour $v\in\,]0,\pi[$, $\sin v>0$). En intégrant sur tout $u\in[0,2\pi[,v\in[0,\pi]$, on retrouve l'aire totale de la sphère :

5. Exemple résolu — le cylindre

Pour $X(u,v)=(R\cos u,R\sin u,v)$ : $X_u=(-R\sin u,R\cos u,0)$, $X_v=(0,0,1)$. On trouve $E=R^2,F=0,G=1$, donc $dA=R\,du\,dv$ : le cylindre est, en un sens précis, isométrique au plan (on peut le « dérouler » sans déformer les longueurs) — c'est pourquoi le coefficient $E$ ne dépend ni de $u$ ni de $v$.

6. Isométries de surfaces

Deux surfaces sont isométriques si elles ont la « même » première forme fondamentale dans des paramétrages adaptés — intuitivement, on peut déformer l'une en l'autre sans étirer ni déchirer (en pliant seulement). Le cylindre et le plan sont isométriques (on déroule le cylindre), mais la sphère n'est isométrique à aucune région du plan — c'est le contenu du theorema egregium de Gauss (vu en détail à la leçon suivante), qui explique pourquoi toute carte plane de la Terre déforme nécessairement les distances ou les surfaces.

7. Récapitulatif

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