Seconde forme fondamentale et courbure de Gauss

Seconde forme fondamentale et courbure de Gauss

1. Vecteur normal unitaire

Pour une surface paramétrée régulière $X(u,v)$, le vecteur normal unitaire est $\mathbf{n}=\dfrac{X_u\times X_v}{\|X_u\times X_v\|}$. Il est orthogonal au plan tangent en chaque point et donne une orientation à la surface (le choix du signe dépend du paramétrage).

2. Seconde forme fondamentale

La seconde forme fondamentale $II$ mesure la façon dont la surface s'écarte de son plan tangent (sa courbure « extrinsèque »). On définit :

et pour $w=aX_u+bX_v$ : $II(w,w)=La^2+2Mab+Nb^2$. (Attention : ce $N$ n'est pas le vecteur normal $\mathbf{n}$, mais un coefficient scalaire — la notation classique, bien qu'ambiguë, est universelle.)

3. Courbures principales et courbure de Gauss

En chaque point, on définit la courbure de Gauss :

et la courbure moyenne $H=\dfrac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)}$. Les courbures principales $\kappa_1,\kappa_2$ (valeurs propres de l'application de Weingarten) vérifient $K=\kappa_1\kappa_2$ et $H=(\kappa_1+\kappa_2)/2$ : $K$ et $H$ sont respectivement le produit et la moyenne des courbures extrémales des sections normales de la surface.

Classification des points : $K>0$ : point elliptique (la surface se courbe du même côté dans toutes les directions, comme sur une sphère) ; $K<0$ : point hyperbolique (selle de cheval, comme sur un paraboloïde hyperbolique) ; $K=0$ : point parabolique (comme sur un cylindre).

4. Exemple résolu — la sphère

Pour $X(u,v)=(R\cos u\sin v,R\sin u\sin v,R\cos v)$, on a déjà $E=R^2\sin^2v,F=0,G=R^2$. Le vecteur normal est $\mathbf{n}=-X/R$ (pointant vers le centre, à un signe de convention près). Un calcul direct des dérivées secondes donne $L=R\sin^2v$, $M=0$, $N=R$. D'où :

La courbure de Gauss de la sphère est constante, égale à $1/R^2$ : plus la sphère est grande, moins elle est courbée.

5. Exemple résolu — le cylindre

Pour le cylindre $X(u,v)=(R\cos u,R\sin u,v)$, on calcule $L=-R$, $M=0$, $N=0$ (la direction $v$, le long de l'axe, ne courbe pas du tout). D'où :

Le cylindre a une courbure de Gauss nulle partout, comme le plan — cohérent avec le fait (vu à la leçon précédente) que le cylindre est isométrique au plan.

6. Theorema egregium de Gauss

Théorème (Gauss, 1827) : la courbure de Gauss $K$ ne dépend que de la première forme fondamentale $(E,F,G)$ et de ses dérivées — pas de la seconde forme fondamentale, et donc pas de la façon dont la surface est plongée dans $\mathbb{R}^3$. C'est une quantité intrinsèque.

Conséquence majeure : deux surfaces isométriques (même première forme fondamentale) ont nécessairement la même courbure de Gauss en points correspondants. C'est pourquoi le plan ($K=0$) et la sphère ($K=1/R^2\neq0$) ne sont jamais isométriques : on ne peut pas représenter une carte de la Terre sur une feuille plane sans déformer distances ou aires — c'est un théorème, pas une limitation technique des cartographes.

7. Récapitulatif

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