Bases hilbertiennes et lien avec les séries de Fourier

Bases hilbertiennes et lien avec les séries de Fourier

1. Familles orthonormées et inégalité de Bessel

Soit $(e_n)_{n\geq1}$ une famille orthonormée dans un espace de Hilbert $H$ ($\langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}$). Pour tout $x\in H$, les coefficients de Fourier généralisés sont $c_n=\langle x,e_n\rangle$.

Inégalité de Bessel : pour tout $N$, $\displaystyle\sum_{n=1}^N|c_n|^2\leq\|x\|^2$, et en passant à la limite, $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}|c_n|^2\leq\|x\|^2$ (la série converge toujours, quelle que soit la famille orthonormée — c'est une conséquence directe du théorème de Pythagore appliqué à $x=p_{F_N}(x)+(x-p_{F_N}(x))$ avec $F_N=\text{Vect}(e_1,\dots,e_N)$).

2. Base hilbertienne

Une famille orthonormée $(e_n)_{n\geq1}$ est une base hilbertienne (ou base orthonormée complète) de $H$ si, de plus, $\text{Vect}(e_n:n\geq1)$ est dense dans $H$. Dans ce cas, l'inégalité de Bessel devient une égalité — l'égalité de Parseval :

3. Lien direct avec les séries de Fourier

Sur $H=L^2([-\pi,\pi])$ (fonctions de carré intégrable, muni de $\langle f,g\rangle=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}fg$), la famille $\Big(e_n(x)=e^{inx}\Big)_{n\in\mathbb{Z}}$ est orthonormée (vérifié : $\langle e_n,e_m\rangle=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(n-m)x}dx=\delta_{nm}$) et constitue en fait une base hilbertienne de $L^2([-\pi,\pi])$ — c'est un théorème profond (densité des polynômes trigonométriques dans $L^2$, via Stone-Weierstrass puis un argument de densité).

Les coefficients de Fourier $c_n=\langle f,e_n\rangle$ déjà étudiés (leçon « Séries de Fourier ») sont donc exactement les coordonnées de $f$ dans cette base hilbertienne, et l'égalité de Parseval $\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^\pi|f|^2=\displaystyle\sum_n|c_n|^2$ (déjà rencontrée pour le problème de Bâle) est exactement l'égalité de Parseval générale de ce paragraphe, appliquée à ce cas particulier.

Reformulation conceptuelle : la décomposition d'une fonction périodique en série de Fourier n'est rien d'autre que l'expression de cette fonction dans une base orthonormée bien choisie de l'espace de Hilbert $L^2$ — exactement comme décomposer un vecteur de $\mathbb{R}^n$ dans la base canonique.

4. Exemple résolu — meilleure approximation trigonométrique

Conséquence pratique de la projection orthogonale (leçon précédente) : la somme partielle de Fourier $S_N f=\displaystyle\sum_{|n|\leq N}c_ne^{inx}$ est exactement la projection orthogonale de $f$ sur $F_N=\text{Vect}(e_{-N},\dots,e_N)$, donc $S_Nf$ est le meilleur polynôme trigonométrique de degré $\leq N$ approximant $f$ au sens de la norme $L^2$ — meilleur que n'importe quel autre choix de coefficients, pas seulement meilleur en moyenne. C'est un résultat beaucoup plus fort que la simple convergence ponctuelle (Dirichlet) déjà vue.

5. Séparabilité

Un espace de Hilbert admettant une base hilbertienne dénombrable est dit séparable. $L^2([-\pi,\pi])$, $\ell^2$, $\mathbb{R}^n$ sont tous séparables. (Il existe des espaces de Hilbert non séparables, mais ils sont rares en pratique et hors-programme ici.)

6. Récapitulatif

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