Projection orthogonale sur un sous-espace fermé

Projection orthogonale sur un sous-espace fermé

1. Théorème de la projection orthogonale

Théorème : soit $H$ un espace de Hilbert et $F\subset H$ un sous-espace vectoriel fermé. Pour tout $x\in H$, il existe un unique point $p_F(x)\in F$ réalisant la distance minimale :

De plus, $p_F(x)$ est caractérisé par la condition d'orthogonalité : $x-p_F(x)\perp F$ (c'est-à-dire $\langle x-p_F(x),y\rangle=0$ pour tout $y\in F$).

L'application $p_F:H\to F$ ainsi définie est linéaire, et s'appelle la projection orthogonale sur $F$.

2. Décomposition orthogonale

Conséquence directe : pour $F$ fermé, $H=F\oplus F^\perp$ (somme directe orthogonale), où $F^\perp=\{z\in H:\langle z,y\rangle=0\ \forall y\in F\}$ est l'orthogonal de $F$. Tout $x\in H$ se décompose de façon unique $x=p_F(x)+p_{F^\perp}(x)$, avec $p_F(x)\perp p_{F^\perp}(x)$, et par Pythagore : $\|x\|^2=\|p_F(x)\|^2+\|p_{F^\perp}(x)\|^2$.

3. Cas de la dimension finie : formule explicite

Si $F=\text{Vect}(e_1,\dots,e_k)$ avec $(e_1,\dots,e_k)$ base orthonormée de $F$ (c'est-à-dire $\langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}$, le symbole de Kronecker), alors :

Exemple résolu. Dans $\mathbb{R}^3$, soit $F=\text{Vect}(e_1,e_2)$ avec $e_1=(1,0,0)$, $e_2=(0,1,0)$ (base orthonormée du plan $xOy$). Pour $x=(2,3,5)$ :

(le résultat est géométriquement évident : la projection sur le plan $xOy$ annule la coordonnée $z$.)

4. Cas d'une droite (projection sur un vecteur unitaire)

Pour $F=\text{Vect}(u)$ avec $\|u\|=1$ : $p_F(x)=\langle x,u\rangle\,u$. Plus généralement, pour $u\neq0$ quelconque (pas nécessairement unitaire) : $p_F(x)=\dfrac{\langle x,u\rangle}{\|u\|^2}\,u$.

Exemple : pour $u=(4,-1,2)$ et $x=(1,2,3)$ (mêmes vecteurs qu'à la leçon précédente, où $\langle x,u\rangle=8$ et $\|u\|^2=16+1+4=21$) :

5. Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt

Pour construire une base orthonormée à partir d'une base $(v_1,\dots,v_k)$ quelconque, on procède récursivement : $u_1=v_1/\|v_1\|$, puis pour $i\geq2$ :

(on soustrait à $v_i$ sa projection sur l'espace déjà construit, puis on normalise le résidu, qui est orthogonal à tous les $u_j$ précédents par construction).

6. Pourquoi la fermeture de $F$ est essentielle

Si $F$ n'est pas fermé, le théorème de projection peut échouer : l'infimum $\inf_{y\in F}\|x-y\|$ peut ne pas être atteint dans $F$ (seulement approché par une suite qui converge vers un point hors de $F$). C'est l'une des raisons pour lesquelles la complétude de l'espace de Hilbert (qui garantit que les sous-espaces de dimension finie, ou plus généralement fermés, se comportent bien) est cruciale.

7. Récapitulatif

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