Produit scalaire et espaces préhilbertiens

Produit scalaire et espaces préhilbertiens

1. Produit scalaire sur un espace vectoriel réel

Un produit scalaire sur un espace vectoriel réel $E$ est une application $\langle\cdot,\cdot\rangle:E\times E\to\mathbb{R}$ bilinéaire, symétrique ($\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle$) et définie positive ($\langle x,x\rangle>0$ pour $x\neq0$). On note $\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$ la norme associée. Un espace muni d'un produit scalaire est dit préhilbertien.

Exemples : $\mathbb{R}^n$ avec le produit scalaire usuel $\langle x,y\rangle=\sum_ix_iy_i$ ; l'espace $C([a,b])$ des fonctions continues avec $\langle f,g\rangle=\displaystyle\int_a^bf(t)g(t)\,dt$ ; l'espace $\ell^2$ des suites réelles $(u_n)$ telles que $\sum u_n^2<\infty$, avec $\langle u,v\rangle=\sum_nu_nv_n$.

2. Inégalité de Cauchy-Schwarz et inégalité triangulaire

Théorème (Cauchy-Schwarz) : pour tous $x,y\in E$, $|\langle x,y\rangle|\leq\|x\|\,\|y\|$, avec égalité si et seulement si $x,y$ sont colinéaires.

Conséquence — inégalité triangulaire : $\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|$ (en développant $\|x+y\|^2=\|x\|^2+2\langle x,y\rangle+\|y\|^2\leq\|x\|^2+2\|x\|\|y\|+\|y\|^2=(\|x\|+\|y\|)^2$). Cela confirme que $\|\cdot\|$ est bien une norme au sens habituel.

3. Identité du parallélogramme et orthogonalité

Identité du parallélogramme : $\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2$ (se vérifie directement en développant les deux carrés scalaires). C'est une propriété caractéristique des normes issues d'un produit scalaire (théorème de Jordan-von Neumann : une norme vérifiant cette identité provient nécessairement d'un produit scalaire).

Deux vecteurs $x,y$ sont orthogonaux ($x\perp y$) si $\langle x,y\rangle=0$. Théorème de Pythagore : si $x\perp y$, alors $\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2$ (cas particulier de l'identité ci-dessus avec $\langle x,y\rangle=0$).

4. Exemple résolu — produit scalaire $L^2$ et orthogonalité trigonométrique

Sur $E=C([-\pi,\pi])$ muni de $\langle f,g\rangle=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(t)g(t)\,dt$, vérifions que $\cos(x)$ et $\sin(x)$ sont orthogonaux :

(car $\cos(2\pi)=\cos(-2\pi)$, les deux bornes coïncident). C'est exactement la propriété exploitée — sans le dire formellement — dans les séries de Fourier déjà étudiées.

5. Complétude et espaces de Hilbert

Un espace préhilbertien $E$ est un espace de Hilbert s'il est complet pour la norme $\|\cdot\|$ (toute suite de Cauchy converge dans $E$). $\mathbb{R}^n$ (dimension finie) est toujours complet, donc toujours un espace de Hilbert. En dimension infinie, ce n'est pas automatique : $\ell^2$ est complet (donc un espace de Hilbert), mais l'espace des suites à support fini, muni de la même norme, ne l'est pas (on peut construire une suite de Cauchy de suites à support fini dont la limite a un support infini, donc sort de l'espace).

Pourquoi la complétude est essentielle : sans elle, de nombreux théorèmes de projection et de décomposition (étudiés à la leçon suivante) échouent, car la limite d'une suite minimisante pourrait « s'échapper » de l'espace.

6. Récapitulatif

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