Épreuve et schéma de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues possibles : un « succès » (probabilité $p$) et un « échec » (probabilité $1-p$).

Exemple

Lancer une pièce et regarder si on obtient « Pile » (succès, probabilité $p=0{,}5$) ou « Face » (échec).

Loi de Bernoulli

Si $X$ est la variable aléatoire qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d'échec, $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$, notée $\mathcal{B}(p)$ :

|---|---|---|

On a alors $E(X) = 0\times(1-p)+1\times p = p$.

Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli consiste à répéter $n$ fois, de façon identique et indépendante, la même épreuve de Bernoulli de paramètre $p$.

« Identique » signifie que la probabilité de succès $p$ reste la même à chaque répétition. « Indépendante » signifie que le résultat d'une répétition n'influence pas les autres (c'est le cas par exemple pour des tirages avec remise, ou pour des lancers de dé/pièce successifs).

Exemple

On lance $5$ fois un dé équilibré et on regarde, à chaque lancer, si on obtient un $6$ (succès, $p=\dfrac{1}{6}$) ou non (échec). C'est un schéma de Bernoulli avec $n=5$ répétitions.

Attention : un tirage sans remise dans une population de petite taille ne constitue en général pas une répétition indépendante (la probabilité change après chaque tirage), donc ce n'est pas un schéma de Bernoulli au sens strict.

Vers la loi binomiale

Dans un schéma de Bernoulli à $n$ répétitions, on s'intéresse souvent à la variable aléatoire $X$ = « nombre de succès obtenus ». C'est l'objet de la leçon suivante : $X$ suit alors une loi binomiale.