La loi binomiale

Coefficient binomial

Pour un schéma de Bernoulli à $n$ répétitions, le coefficient binomial $\dbinom{n}{k}$ (lu « $k$ parmi $n$ ») compte le nombre de façons d'obtenir $k$ succès parmi les $n$ répétitions (c'est-à-dire le nombre de chemins de l'arbre menant à exactement $k$ succès).

Propriétés utiles

On peut les calculer avec le triangle de Pascal ou la calculatrice.

Loi binomiale

Soit $X$ le nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ (nombre de répétitions) et $p$ (probabilité de succès). On dit que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $\mathcal{B}(n,p)$, et pour tout entier $k$ avec $0\leqslant k\leqslant n$ :

$$P(X=k) = \dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$

Exemple

On lance $4$ fois une pièce équilibrée ($p=0{,}5$). $X$ = nombre de Piles obtenus suit $\mathcal{B}(4\,;\,0{,}5)$.

(car $\dbinom{4}{2}=6$, qui se lit dans le triangle de Pascal ou se calcule).

Espérance de la loi binomiale

Si $X$ suit $\mathcal{B}(n,p)$, alors :

$$E(X) = np$$

Exemple (suite)

$E(X) = 4\times0{,}5=2$ : en moyenne, on obtient $2$ Piles sur $4$ lancers, ce qui est cohérent avec l'intuition.

Méthode pour reconnaître une loi binomiale

On vérifie que la situation est bien un schéma de Bernoulli répété $n$ fois (épreuves identiques et indépendantes, deux issues), puis on identifie $n$ et $p$, et on applique la formule.