Variable aléatoire et espérance

Variable aléatoire

Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire.

Exemple

On lance un dé à 6 faces. Si on gagne $10$ € en cas de $6$, on perd $2$ € sinon, on peut définir $X$ = gain réalisé. $X$ prend les valeurs $10$ et $-2$.

Loi de probabilité de $X$

La loi de probabilité de $X$ associe à chaque valeur possible $x_i$ de $X$ la probabilité $P(X=x_i)$. On la présente souvent dans un tableau, et la somme des probabilités doit valoir $1$.

Exemple (suite)

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Espérance mathématique

L'espérance de $X$, notée $E(X)$, est la moyenne des valeurs possibles de $X$ pondérées par leurs probabilités :

$$E(X) = \sum_{i} x_i \, p_i = x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n$$

C'est le gain moyen que l'on peut espérer si on répète l'expérience un grand nombre de fois.

Exemple (suite)

Le jeu est donc équitable ($E(X)=0$) : sur le long terme, on ne gagne ni ne perd d'argent en moyenne.

Variance et écart-type (pour information)

On définit aussi $V(X) = \sum_i p_i(x_i-E(X))^2$ et $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$, qui mesurent la dispersion des valeurs de $X$ autour de son espérance (hors programme de calcul détaillé en 1ère, mais bon à connaître).