Fonctions mesurables et construction de l'intégrale de Lebesgue

Fonctions mesurables et construction de l'intégrale de Lebesgue

1. Fonctions mesurables

Une fonction $f:\Omega\to\mathbb{R}$ (ou $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$) est mesurable (par rapport à une tribu $\mathcal{A}$ sur $\Omega$) si, pour tout $a\in\mathbb{R}$, l'ensemble $\{x\in\Omega:f(x)>a\}$ appartient à $\mathcal{A}$. Cette condition équivaut à demander que $\{f<a\}$, $\{f\leq a\}$ ou $\{f\geq a\}$ soient mesurables pour tout $a$ — les quatre formulations sont équivalentes.

Propriétés de stabilité : la somme, le produit, le maximum, le minimum de deux fonctions mesurables sont mesurables ; la limite simple d'une suite de fonctions mesurables est mesurable (contrairement à la continuité, qui n'est pas stable par limite simple !). Toute fonction continue est mesurable (pour la tribu borélienne).

2. Fonctions étagées

Une fonction étagée (ou simple) est une combinaison linéaire finie d'indicatrices d'ensembles mesurables :

On définit naturellement son intégrale : $\displaystyle\int\varphi\,d\mu = \sum_{i=1}^n c_i\,\mu(A_i)$.

3. Construction de l'intégrale pour $f\geq0$ mesurable

Pour une fonction mesurable $f\geq0$, on définit :

C'est-à-dire qu'on approxime $f$ par des fonctions étagées en escalier sous son graphe, et on prend la borne supérieure des intégrales de ces approximations — l'idée duale de Riemann (qui découpe l'axe des abscisses), Lebesgue découpe l'axe des ordonnées.

4. Intégrale pour $f$ de signe quelconque

Pour $f$ mesurable de signe quelconque, on pose $f^+=\max(f,0)$ et $f^-=\max(-f,0)$ (parties positive et négative, toutes deux $\geq0$), avec $f=f^+-f^-$ et $|f|=f^++f^-$. On dit que $f$ est intégrable si $\int f^+\,d\mu<\infty$ et $\int f^-\,d\mu<\infty$ (de façon équivalente, $\int|f|\,d\mu<\infty$), et on pose alors :

5. Exemple résolu — la fonction de Dirichlet, enfin intégrable

Reprenons $f=\mathbb{1}_{\mathbb{Q}\cap[0,1]}$. Comme $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ est mesurable (dénombrable, donc borélien) et de mesure de Lebesgue nulle (§4 de la leçon précédente), $f$ est une fonction étagée elle-même ($f=1\cdot\mathbb{1}_{\mathbb{Q}\cap[0,1]}+0\cdot\mathbb{1}_{[0,1]\setminus\mathbb{Q}}$), donc directement intégrable, avec :

Lebesgue résout donc immédiatement ce que Riemann ne pouvait pas traiter — et confirme l'intuition que $f$ est « presque partout nulle ».

6. Comparaison avec l'intégrale de Riemann

Théorème de compatibilité : si $f$ est Riemann-intégrable sur $[a,b]$, alors $f$ est Lebesgue-intégrable, et les deux intégrales coïncident. L'intégrale de Lebesgue est donc une extension stricte de l'intégrale de Riemann (elle traite davantage de fonctions, comme Dirichlet, et son cadre théorique pour les théorèmes de convergence est bien plus robuste — étudié à la leçon suivante).

7. Récapitulatif

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