Théorèmes de convergence (monotone, dominée)

Théorèmes de convergence

1. Pourquoi des théorèmes de convergence ?

L'un des plus grands avantages de l'intégrale de Lebesgue sur celle de Riemann est la robustesse de l'échange limite-intégrale : sous des hypothèses raisonnables (et souvent plus faibles qu'en théorie de Riemann), on peut affirmer $\lim_n\int f_n\,d\mu=\int\big(\lim_nf_n\big)\,d\mu$. Trois théorèmes majeurs encadrent cette question.

2. Théorème de convergence monotone (Beppo Levi)

Théorème : Soit $(f_n)_{n\geq1}$ une suite croissante de fonctions mesurables positives ($0\leq f_1\leq f_2\leq\cdots$), convergeant simplement vers $f=\lim_nf_n$ (éventuellement $+\infty$). Alors :

Exemple résolu. Soit $f_n(x)=\min(n,1/\sqrt{x})$ sur $]0,1]$ (et $f_n(0)=n$, sans incidence). La suite $(f_n)$ est croissante (en $n$) et converge simplement vers $f(x)=1/\sqrt x$. Par convergence monotone :

(intégrale impropre au sens de Riemann, mais parfaitement définie et finie au sens de Lebesgue, le théorème garantissant la convergence des intégrales tronquées vers cette valeur).

3. Lemme de Fatou

Lemme (Fatou) : pour toute suite $(f_n)$ de fonctions mesurables positives :

C'est une inégalité (pas une égalité en général), utile lorsque la suite n'est pas monotone. Il sert d'outil technique intermédiaire pour démontrer le théorème de convergence dominée.

4. Théorème de convergence dominée (Lebesgue)

Théorème : Soit $(f_n)_{n\geq1}$ une suite de fonctions mesurables convergeant simplement (presque partout) vers $f$. S'il existe une fonction intégrable $g$ telle que $|f_n|\leq g$ presque partout, pour tout $n$ (domination uniforme), alors $f$ est intégrable et :

Contre-exemple sans domination (rappel) : pour $f_n=n\cdot\mathbb{1}_{[0,1/n]}$, on a $f_n\to0$ p.p. mais $\int f_n\,d\lambda=1\not\to0$ : il n'existe ici aucune fonction intégrable $g$ dominant tous les $f_n$ (car $f_n(0)=n\to+\infty$), donc le théorème ne s'applique pas — cohérent avec l'échec de l'échange limite-intégrale observé.

5. Exemple résolu — convergence dominée

Soit $f_n(x)=\dfrac{\sin(nx)}{1+nx^2}$ sur $[0,1]$. On a $|f_n(x)|\leq\dfrac{1}{1+nx^2}\leq1$ pour tout $n,x$ (car $|\sin|\leq1$ et $1+nx^2\geq1$), donc $g\equiv1$ (intégrable sur $[0,1]$, de mesure finie) domine uniformément la suite. Comme $f_n(x)\to0$ pour tout $x$ fixé (le numérateur est borné, le dénominateur croît si $x\neq0$ ; en $x=0$, $f_n(0)=0$ pour tout $n$), le théorème de convergence dominée donne directement :

sans avoir à calculer explicitement l'intégrale pour chaque $n$ (ce qui serait très difficile).

6. Comparaison des trois théorèmes

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7. Récapitulatif

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