Tribus et mesures

Tribus et mesures

1. Pourquoi dépasser l'intégrale de Riemann ?

L'intégrale de Riemann, vue en L1-L2, présente des limites : certaines fonctions bornées ne sont pas Riemann-intégrables (par exemple la fonction de Dirichlet $\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}$, indicatrice des rationnels, qui oscille entre $0$ et $1$ sur tout intervalle), et les théorèmes d'échange limite/intégrale (convergence simple d'une suite de fonctions) y sont peu robustes. L'intégrale de Lebesgue, construite sur la notion de mesure, résout ces deux problèmes.

2. Tribus (ou $\sigma$-algèbres)

Une tribu $\mathcal{A}$ sur un ensemble $\Omega$ est une collection de parties de $\Omega$ vérifiant :
1. $\Omega\in\mathcal{A}$ ;
2. stabilité par complémentaire : $A\in\mathcal{A}\Rightarrow A^c\in\mathcal{A}$ ;
3. stabilité par réunion dénombrable : $(A_n)_{n\geq1}\subset\mathcal{A}\Rightarrow\bigcup_{n\geq1}A_n\in\mathcal{A}$.

Conséquences immédiates : $\emptyset=\Omega^c\in\mathcal{A}$ ; par les lois de De Morgan, $\mathcal{A}$ est aussi stable par intersection dénombrable. Les éléments de $\mathcal{A}$ sont appelés ensembles mesurables.

Exemple — tribu borélienne. Sur $\mathbb{R}$, la tribu borélienne $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ est la plus petite tribu contenant tous les intervalles ouverts (elle contient donc tous les ouverts, fermés, et la plupart des ensembles « raisonnables » qu'on rencontre en pratique).

3. Mesures

Une mesure sur $(\Omega,\mathcal{A})$ est une application $\mu:\mathcal{A}\to[0,+\infty]$ telle que $\mu(\emptyset)=0$ et, pour toute famille dénombrable d'ensembles deux à deux disjoints $(A_n)_{n\geq1}\subset\mathcal{A}$ :

Exemples : la mesure de comptage $\mu(A)=\text{Card}(A)$ (ou $+\infty$ si $A$ infini) ; la mesure de Lebesgue $\lambda$ sur $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$, qui généralise la notion de longueur ($\lambda([a,b])=b-a$) à des ensembles beaucoup plus généraux que les intervalles.

4. Propriétés de base des mesures

Pour $A,B\in\mathcal{A}$ avec $A\subseteq B$ : croissance $\mu(A)\leq\mu(B)$. Pour une suite croissante $A_1\subseteq A_2\subseteq\cdots$ : continuité croissante $\mu\big(\bigcup_nA_n\big)=\lim_n\mu(A_n)$. Pour une suite décroissante avec $\mu(A_1)<\infty$ : continuité décroissante $\mu\big(\bigcap_nA_n\big)=\lim_n\mu(A_n)$.

Exemple — la mesure de Lebesgue d'un singleton est nulle. $\lambda(\{a\})=\lambda\big(\bigcap_n]a-1/n,a+1/n[\big)=\lim_n\lambda(]a-1/n,a+1/n[)=\lim_n(2/n)=0$. Par $\sigma$-additivité, tout ensemble dénombrable (comme $\mathbb{Q}$) a donc une mesure de Lebesgue nulle — c'est un ensemble négligeable.

5. Propriété « presque partout »

On dit qu'une propriété $P(x)$ est vraie $\mu$-presque partout (p.p.) si l'ensemble $\{x:P(x)\text{ est fausse}\}$ est de mesure nulle. C'est une notion centrale en théorie de la mesure : deux fonctions égales presque partout seront considérées comme « identiques » du point de vue de l'intégration.

Exemple : la fonction de Dirichlet $\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}$ est égale à la fonction nulle Lebesgue-presque partout (puisque $\mathbb{Q}$ est négligeable), ce qui annonce pourquoi elle sera Lebesgue-intégrable d'intégrale $0$, alors qu'elle n'est pas Riemann-intégrable.

6. Récapitulatif

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