Ensembles de nombres et valeur absolue

Les ensembles de nombres

Depuis le collège, vous avez rencontré différents types de nombres. Au lycée, on les organise en ensembles emboîtés :

|---|---|---|

Remarque : Ces ensembles sont emboîtés les uns dans les autres :

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

Un nombre comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$ appartient à $\mathbb{R}$ mais pas à $\mathbb{Q}$ : on dit qu'il est irrationnel.

Reconnaître l'appartenance à un ensemble

- $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ a une écriture décimale infinie : ce n'est pas un décimal, mais c'est un rationnel ($\dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}$).
- $\sqrt{2} \approx 1{,}414\ldots$ a une écriture décimale infinie non périodique : il est irrationnel, donc $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ mais $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.

La valeur absolue

La valeur absolue d'un nombre réel $x$, notée $|x|$, est sa distance à $0$ sur la droite numérique.

Exemples : $|7| = 7 \qquad |-7| = 7 \qquad |0| = 0$

Propriété clé : Pour deux réels $a$ et $b$, la distance entre $a$ et $b$ sur la droite numérique est $|a-b|$.

Exemple : la distance entre $-3$ et $5$ est $|5-(-3)| = |8| = 8$.