2ndeArithmétique

Calcul avec racines carrées et puissances

16 min5 exercicesSéquence 2.2 — 2nde

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Durée : 16 min

Règles de calcul sur les racines carrées

Pour $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$ :

\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \qquad \qquad \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \ \ (b \neq 0)

Attention : $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ en général ! Par exemple $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ , alors que $\sqrt{9}+\sqrt{16} = 3+4=7$ .

Simplifier une racine carrée

Pour simplifier $\sqrt{75}$ , on cherche le plus grand carré parfait qui divise $75$ :

\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}

Rendre un dénominateur rationnel

\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

Règles de calcul sur les puissances

Pour $a \neq 0$ , $b\neq 0$ et $n, p$ entiers relatifs :

a^n \times a^p = a^{n+p} \qquad \dfrac{a^n}{a^p} = a^{n-p} \qquad (a^n)^p = a^{n \times p}

(a \times b)^n = a^n \times b^n \qquad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \qquad a^0 = 1

Exemple : $\dfrac{2^5 \times 2^3}{2^6} = 2^{5+3-6} = 2^2 = 4$

Identités remarquables

Trois égalités fondamentales, valables pour tous réels $a$ et $b$ :

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

(a-b)(a+b) = a^2 - b^2

Ces identités permettent de développer une expression factorisée, ou inversement de factoriser une expression développée.

Exemple (développer) : $(x+3)^2 = x^2 + 2\times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$

Exemple (factoriser) : $x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4)$

Exercices

Simplifie $\sqrt{48}$ .

Que vaut $3^{-2}$ ?

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