Distance d'un point à un plan

Distance d'un point à un plan

### Formule de la distance

> Théorème :
> Soit $\mathcal{P}$ un plan d'équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$ et $M_0(x_0\,;\,y_0\,;\,z_0)$ un point de l'espace. La distance du point $M_0$ au plan $\mathcal{P}$ est :
>

Cette distance correspond à la plus courte distance entre $M_0$ et un point quelconque du plan $\mathcal{P}$.

Exemple : calculons la distance du point $M_0(1\,;\,2\,;\,-3)$ au plan $\mathcal{P}: 2x-y+2z+5=0$.

On a $a=2$, $b=-1$, $c=2$, $d=5$ et $(x_0\,;\,y_0\,;\,z_0)=(1\,;\,2\,;\,-3)$ :

### Projeté orthogonal d'un point sur un plan

Le projeté orthogonal $H$ d'un point $M_0$ sur un plan $\mathcal{P}$ est le point de $\mathcal{P}$ le plus proche de $M_0$ : c'est l'unique point de $\mathcal{P}$ tel que $\overrightarrow{M_0H}$ soit orthogonal à $\mathcal{P}$ (donc colinéaire à un vecteur normal $\vec{n}$ de $\mathcal{P}$), et on a alors $d(M_0,\mathcal{P}) = M_0H$.

> Méthode pour déterminer $H$, projeté orthogonal de $M_0$ sur $\mathcal{P}$ :
> 1. Écrire une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ passant par $M_0$ et de vecteur directeur $\vec{n}$ (le vecteur normal de $\mathcal{P}$) ;
> 2. $H$ est le point d'intersection de $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}$ : on substitue les coordonnées paramétriques de $\mathcal{D}$ dans l'équation de $\mathcal{P}$ pour trouver la valeur du paramètre, puis on en déduit les coordonnées de $H$.

Exemple : déterminons le projeté orthogonal $H$ de $A(1\,;\,1\,;\,1)$ sur le plan $\mathcal{P}: x+y+z-6=0$ (vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$).

La droite $\mathcal{D}$ passant par $A$ de vecteur directeur $\vec{n}$ a pour représentation paramétrique :

On substitue dans l'équation de $\mathcal{P}$ :

D'où $H(1+1\,;\,1+1\,;\,1+1) = H(2\,;\,2\,;\,2)$.