Vecteur normal et équation de plan

Vecteur normal à un plan

### Définition

Un vecteur $\vec{n}$ non nul est normal à un plan $\mathcal{P}$ s'il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de $\mathcal{P}$.

On peut montrer que, dans ce cas, $\vec{n}$ est en fait orthogonal à tous les vecteurs directeurs de $\mathcal{P}$, donc à toute droite incluse dans $\mathcal{P}$.

### Lien avec l'équation cartésienne d'un plan

> Théorème :
> Le plan $\mathcal{P}$ passant par un point $A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)$ et de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ (avec $(a\,;\,b\,;\,c)\neq(0\,;\,0\,;\,0)$) est l'ensemble des points $M(x\,;\,y\,;\,z)$ tels que $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0$, ce qui équivaut à une équation de la forme :
>

> où $d=-(ax_A+by_A+cz_A)$.

Réciproquement, tout plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ admet le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ comme vecteur normal.

Exemple : déterminons l'équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par $A(1\,;\,2\,;\,-1)$ et de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$.

Pour $M(x\,;\,y\,;\,z)\in\mathcal{P}$, on a $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0$ :

Le plan $\mathcal{P}$ a donc pour équation cartésienne $3x-y+2z+1=0$.

### Orthogonalité d'une droite et d'un plan

> Théorème :
> Une droite $\mathcal{D}$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ est orthogonale à un plan $\mathcal{P}$ de vecteur normal $\vec{n}$ si et seulement si $\overrightarrow{u}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires.

Exemple : la droite $\mathcal{D}$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ est-elle orthogonale au plan $\mathcal{P}: 3x-y+2z+1=0$ ?

Le vecteur normal de $\mathcal{P}$ est $\vec{n}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$. On remarque que $\overrightarrow{u} = 2\vec{n}$, donc $\overrightarrow{u}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires : la droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$.