Produit scalaire dans l'espace

Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace

Le produit scalaire, déjà connu dans le plan, se prolonge naturellement à l'espace. C'est l'outil central pour étudier l'orthogonalité en 3D.

### Définition avec les coordonnées

Soit $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}$ deux vecteurs de l'espace. Le produit scalaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est le nombre réel :

Exemple : avec $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ :

### Définition géométrique

On peut aussi exprimer le produit scalaire à l'aide des normes et de l'angle géométrique formé par les deux vecteurs :

Cette formule reste valable dans l'espace, car deux vecteurs non nuls définissent toujours un plan dans lequel on peut mesurer leur angle.

> Théorème (caractérisation de l'orthogonalité) :
> Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si et seulement si :
>

En effet, si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont non nuls et orthogonaux, alors $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) = 90°$ donc $\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) = 0$, d'où $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0$. La réciproque se démontre de la même façon.

Exemple : $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ : on calcule $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 1\times4 + 2\times1 - 3\times2 = 4+2-6 = 0$. Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont donc orthogonaux.

### Propriétés algébriques

Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$ de l'espace et tout réel $k$ :

> - Symétrie : $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}$
> - Bilinéarité : $\overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w}$ et $\overrightarrow{u}\cdot(k\overrightarrow{v}) = k(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v})$
> - $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u} = \|\overrightarrow{u}\|^2$

Ces propriétés, identiques à celles vues dans le plan, permettent de développer des expressions comme $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) = \|\overrightarrow{u}\|^2 - \|\overrightarrow{v}\|^2$.