Division euclidienne et factorisation

Division euclidienne et factorisation des polynômes

### 1. Théorème de la division euclidienne

Théorème. Soient $A, B \in \mathbb{K}[X]$ avec $B \neq 0$. Il existe un unique couple $(Q,R) \in \mathbb{K}[X]^2$ tel que :

$Q$ est le quotient et $R$ le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$. Si $R = 0$, on dit que $B$ divise $A$, noté $B \mid A$.

La méthode pratique reprend l'algorithme de division posée, en éliminant à chaque étape le terme de plus haut degré.

### 2. Exemple résolu de division euclidienne

Énoncé. Diviser $A(X) = X^4 - 2X^3 + 3X - 1$ par $B(X) = X^2 - X + 1$.

Solution. On pose la division :

- $X^4 \div X^2 = X^2$. On calcule $X^2 \cdot B = X^4 - X^3 + X^2$. Reste partiel : $(X^4-2X^3+3X-1) - (X^4-X^3+X^2) = -X^3 - X^2+3X-1$.
- $-X^3 \div X^2 = -X$. On calcule $-X \cdot B = -X^3+X^2-X$. Reste partiel : $(-X^3-X^2+3X-1)-(-X^3+X^2-X) = -2X^2+4X-1$.
- $-2X^2 \div X^2 = -2$. On calcule $-2 \cdot B = -2X^2+2X-2$. Reste partiel : $(-2X^2+4X-1)-(-2X^2+2X-2) = 2X+1$.

Le degré de $2X+1$ (qui est $1$) étant strictement inférieur à $\deg B = 2$, on arrête. On obtient :

Vérification : en développant $(X^2-X+1)(X^2-X-2)$ on retrouve bien $X^4-2X^3+3X-1-(2X+1) = X^4-2X^3-2$, conforme au produit.

### 3. Division par $(X-a)$ et schéma de Horner

Diviser $P$ par $(X-a)$ donne toujours un reste constant, égal à $P(a)$ (cf. leçon précédente). C'est le cas particulier le plus utile : si $P(a) = 0$, le quotient $Q$ vérifie $P = (X-a)Q$ et $\deg Q = \deg P - 1$.

### 4. Théorème de factorisation

Théorème. Tout polynôme $P \in \mathbb{K}[X]$ non nul de degré $n \geq 1$, ayant des racines $a_1, \ldots, a_p$ (distinctes) de multiplicités respectives $k_1, \ldots, k_p$, se factorise sous la forme :

où $a_n$ est le coefficient dominant de $P$ et $Q$ n'a aucune racine dans $\mathbb{K}$, avec $k_1+\cdots+k_p+\deg Q = n$.

Polynôme scindé. $P$ est dit scindé sur $\mathbb{K}$ si $Q$ est constant, c'est-à-dire si $P$ se factorise entièrement en facteurs de degré $1$ : $k_1+\cdots+k_p = n$.

### 5. Théorème de d'Alembert-Gauss et conséquences

Théorème de d'Alembert-Gauss (admis). Tout polynôme non constant de $\mathbb{C}[X]$ admet au moins une racine dans $\mathbb{C}$.

Conséquence 1 : $\mathbb{C}$ est algébriquement clos. Tout polynôme de degré $n \geq 1$ dans $\mathbb{C}[X]$ est scindé sur $\mathbb{C}$, c'est-à-dire s'écrit :

où $z_1,\ldots,z_n \in \mathbb{C}$ (non nécessairement distincts) sont ses $n$ racines comptées avec multiplicité.

Conséquence 2 : polynômes irréductibles sur $\mathbb{R}$. Les polynômes irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ sont exactement :
- les polynômes de degré $1$ ;
- les polynômes de degré $2$ à discriminant $\Delta < 0$ (sans racine réelle).

En effet, tout polynôme réel se factorise sur $\mathbb{C}$ en facteurs $(X-z_i)$ ; en regroupant chaque racine complexe non réelle avec sa conjuguée (qui est aussi racine, cf. leçon précédente), on obtient des facteurs réels de degré $2$ : $(X-z)(X-\bar z) = X^2 - 2\,\mathrm{Re}(z)\,X + |z|^2$, à discriminant négatif.

### 6. Relations entre coefficients et racines : cas du second degré

Soit $P(X) = aX^2+bX+c$ ($a\neq 0$) de racines $r_1, r_2 \in \mathbb{C}$ (éventuellement confondues). On a $P(X) = a(X-r_1)(X-r_2) = a\big(X^2 - (r_1+r_2)X + r_1 r_2\big)$. Par identification :

Exemple. Pour $X^2-5X+6$ : on cherche deux nombres de somme $5$ et de produit $6$ : ce sont $2$ et $3$. Donc $X^2-5X+6=(X-2)(X-3)$.

### 7. Formules de Viète en degré $n$

Soit $P(X) = a_n X^n + \cdots + a_0 = a_n(X-r_1)\cdots(X-r_n)$, racines $r_1,\ldots,r_n \in \mathbb{C}$. En notant $\sigma_k$ la $k$-ième fonction symétrique élémentaire des racines (somme de tous les produits de $k$ racines distinctes), les formules de Viète donnent :

En particulier $\sigma_1 = r_1+\cdots+r_n = -\dfrac{a_{n-1}}{a_n}$ et $\sigma_n = r_1 r_2\cdots r_n = (-1)^n \dfrac{a_0}{a_n}$.

Exemple résolu (degré 3). Pour $P(X) = X^3-2X^2-5X+6$, qui admet pour racines $1, -2, 3$ (on vérifie $P(1)=1-2-5+6=0$, $P(-2)=-8-8+10+6=0$, $P(3)=27-18-15+6=0$) :

### 8. Synthèse

| Résultat | Énoncé |
|---|---|
| Division euclidienne | $A = BQ+R$, $\deg R < \deg B$, unique |
| Division par $(X-a)$ | reste constant $=P(a)$ |
| d'Alembert-Gauss | tout $P\in\mathbb{C}[X]$ non constant a une racine dans $\mathbb{C}$ |
| Irréductibles sur $\mathbb{R}$ | degré $1$, ou degré $2$ à $\Delta<0$ |
| Viète (degré 2) | $r_1+r_2=-b/a$, $r_1r_2=c/a$ |
| Viète (degré $n$) | $\sigma_k = (-1)^k a_{n-k}/a_n$ |