Opérations, degré et racines

Polynômes : opérations, degré et racines

### 1. Définition d'un polynôme

Soit $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Un polynôme à coefficients dans $\mathbb{K}$ est une expression de la forme :

L'ensemble de ces polynômes est noté $\mathbb{K}[X]$. Les $a_i$ sont les coefficients de $P$, et $X$ est une indéterminée (un symbole formel, pas une variable réelle).

Si $a_n \neq 0$, on dit que $P$ est de degré $n$, noté $\deg P = n$. Le terme $a_n X^n$ est le terme dominant et $a_n$ le coefficient dominant. Par convention, le polynôme nul a pour degré $\deg 0 = -\infty$.

Un polynôme est unitaire (ou monique) si son coefficient dominant vaut $1$.

### 2. Opérations sur les polynômes

Somme. Si $P = \sum_{i=0}^n a_i X^i$ et $Q = \sum_{i=0}^n b_i X^i$ (en complétant par des coefficients nuls si nécessaire), alors :

Produit. Si $P$ est de degré $n$ et $Q$ de degré $m$ :

Règles sur les degrés (pour $P, Q \neq 0$) :

avec égalité dans la seconde formule sauf si $\deg P = \deg Q$ et que les termes dominants s'annulent.

Exemple résolu. Soient $A = 2X^3+1$ et $B = X^2 - X$. Alors $\deg A = 3$, $\deg B = 2$, et :

On vérifie $\deg(AB) = 5 = 3+2$, conforme à la règle.

### 3. Fonction polynomiale et valeur en un point

À tout polynôme $P = \sum a_i X^i$, on associe la fonction polynomiale $x \mapsto P(x) = \sum a_i x^i$, en substituant à $X$ un élément $x \in \mathbb{K}$. C'est cette évaluation qui permet de parler de « racine » d'un polynôme.

### 4. Racines d'un polynôme

Définition. Un élément $a \in \mathbb{K}$ est une racine (ou un zéro) de $P$ si $P(a) = 0$.

Théorème (racine et factorisation). Soit $P \in \mathbb{K}[X]$ et $a \in \mathbb{K}$. Alors :

Démonstration. ($\Leftarrow$) Si $(X-a) \mid P$, on écrit $P = (X-a)Q$ pour un certain $Q \in \mathbb{K}[X]$. Alors $P(a) = (a-a)Q(a) = 0$.

($\Rightarrow$) Si $P(a) = 0$, on effectue la division euclidienne de $P$ par $(X-a)$ (cf. leçon suivante) : $P = (X-a)Q + r$ où $r$ est une constante (degré $< 1$). En évaluant en $a$ : $P(a) = 0 \cdot Q(a) + r$, donc $r = P(a) = 0$. Ainsi $P = (X-a)Q$, c'est-à-dire $(X-a) \mid P$. $\blacksquare$

### 5. Multiplicité d'une racine

Définition. $a$ est une racine de multiplicité $k \geq 1$ de $P$ si $(X-a)^k \mid P$ mais $(X-a)^{k+1} \nmid P$, c'est-à-dire :

Une racine de multiplicité $1$ est dite simple, de multiplicité $2$ double, etc.

Caractérisation par les dérivées. $a$ est racine de multiplicité $\geq k$ de $P$ si et seulement si :

En particulier, $a$ est racine multiple (multiplicité $\geq 2$) si et seulement si $P(a) = 0$ et $P'(a) = 0$.

### 6. Exemple résolu : détermination de la multiplicité

Énoncé. Étudier les racines de $P(X) = X^3 - 3X^2 + 4$.

Solution. On teste $a=2$ : $P(2) = 8 - 12 + 4 = 0$, donc $2$ est racine.

On calcule $P'(X) = 3X^2 - 6X$, donc $P'(2) = 12 - 12 = 0$ : la racine $2$ est (au moins) double.

On calcule $P''(X) = 6X - 6$, donc $P''(2) = 6 \neq 0$ : la multiplicité de $2$ est exactement $2$.

On en déduit $P(X) = (X-2)^2 Q(X)$ avec $Q$ de degré $1$. En effectuant la division (ou par identification), $Q(X) = X+1$. On vérifie :

Donc $P(X) = (X-2)^2(X+1)$, avec racine double $2$ et racine simple $-1$.

### 7. Nombre de racines et théorème de d'Alembert-Gauss

Théorème. Un polynôme non nul de degré $n$ possède au plus $n$ racines distinctes dans $\mathbb{K}$, en comptant chaque racine avec sa multiplicité.

Théorème de d'Alembert-Gauss (admis). Tout polynôme non constant à coefficients complexes possède au moins une racine dans $\mathbb{C}$. Par récurrence, un polynôme de degré $n$ à coefficients dans $\mathbb{C}$ admet exactement $n$ racines dans $\mathbb{C}$, comptées avec multiplicité.

Ce théorème sera développé dans la leçon suivante sur la factorisation.

### 8. Synthèse

| Notion | Définition |
|---|---|
| Degré | Plus grand exposant à coefficient non nul |
| Racine | $a$ tel que $P(a)=0$ |
| Lien racine/facteur | $P(a)=0 \iff (X-a) \mid P$ |
| Multiplicité $k$ | $(X-a)^k \mid P$ et $(X-a)^{k+1} \nmid P$ |
| Critère de multiplicité | $P(a)=\cdots=P^{(k-1)}(a)=0$ et $P^{(k)}(a)\neq 0$ |