Fractions rationnelles et décomposition en éléments simples

Fractions rationnelles et décomposition en éléments simples

### 1. Définition d'une fraction rationnelle

Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes $A, B \in \mathbb{K}[X]$ avec $B \neq 0$ :

L'ensemble des fractions rationnelles est noté $\mathbb{K}(X)$. On suppose toujours $F$ écrite sous forme irréductible, c'est-à-dire que $A$ et $B$ n'ont aucune racine commune (sinon on simplifie par les facteurs communs).

### 2. Pôles d'une fraction rationnelle

Définition. Un pôle de $F = A/B$ (sous forme irréductible) est une racine $a$ du dénominateur $B$. L'ordre du pôle $a$ est la multiplicité de $a$ comme racine de $B$.

Un pôle d'ordre $1$ est dit simple, d'ordre $2$ double, etc. Le domaine de définition de $F$ est $\mathbb{K}$ privé de ses pôles.

Exemple. $F(X) = \dfrac{X+1}{(X-2)(X+3)^2}$ a un pôle simple en $2$ et un pôle double en $-3$.

### 3. Partie entière (division euclidienne)

Si $\deg A \geq \deg B$, on effectue la division euclidienne $A = BQ+R$ avec $\deg R < \deg B$, ce qui donne :

$Q$ est la partie entière de $F$, et $R/B$ est une fraction rationnelle dont le numérateur est de degré strictement inférieur à celui du dénominateur. Si $\deg A < \deg B$, la partie entière est nulle.

Exemple. $F(X) = \dfrac{X^3+1}{X^2-1}$. La division de $X^3+1$ par $X^2-1$ donne quotient $X$ et reste $X+1$ (en effet $X(X^2-1)=X^3-X$, et $X^3+1-(X^3-X)=X+1$). Donc :

en simplifiant le facteur commun $(X+1)$ au numérateur et au dénominateur de la fraction restante.

### 4. Théorème de décomposition en éléments simples (cas réel)

Théorème. Toute fraction rationnelle $F=A/B \in \mathbb{R}(X)$ irréductible, avec $B$ factorisé en facteurs irréductibles réels :

se décompose de manière unique sous la forme :

où $Q$ est la partie entière, $\alpha_{i,\ell} \in \mathbb{R}$ et $(\beta_{j,\ell},\gamma_{j,\ell}) \in \mathbb{R}^2$.

Dans ce cours, on se concentre sur le cas où tous les pôles sont réels (les facteurs de degré $2$ irréductibles ne sont pas traités en détail).

### 5. Cas des pôles simples : méthode de substitution

Si $a$ est un pôle simple de $F=A/B$, le coefficient $\alpha$ associé au terme $\dfrac{\alpha}{X-a}$ se calcule par :

C'est la méthode de substitution (multiplier par $(X-a)$ puis évaluer en $a$, après avoir simplifié le facteur $(X-a)$ au dénominateur).

### 6. Exemple résolu : pôles simples par substitution

Énoncé. Décomposer $F(X) = \dfrac{3X+5}{(X-1)(X+2)}$ en éléments simples sur $\mathbb{R}$.

Solution. $\deg(\text{numérateur}) = 1 < 2 = \deg(\text{dénominateur})$, donc pas de partie entière. On pose :

Calcul de $\alpha$ : on multiplie par $(X-1)$ et on évalue en $X=1$ :

Calcul de $\beta$ : on multiplie par $(X+2)$ et on évalue en $X=-2$ :

Donc :

Vérification. En réduisant au même dénominateur : $\dfrac{8(X+2)+1(X-1)}{3(X-1)(X+2)} = \dfrac{9X+15}{3(X-1)(X+2)} = \dfrac{3X+5}{(X-1)(X+2)}$ ✓

### 7. Méthode des coefficients indéterminés (avec pôle multiple)

Quand un pôle est multiple, la substitution seule ne donne pas tous les coefficients : on combine substitution et identification.

Exemple résolu. Décomposer $F(X) = \dfrac{4X-2}{(X+1)^2(X-2)}$.

On pose $F(X) = \dfrac{\alpha}{X+1} + \dfrac{\beta}{(X+1)^2} + \dfrac{\gamma}{X-2}$.

$\beta$ par substitution (pôle double, on multiplie par $(X+1)^2$ et on évalue en $-1$) : $\beta = \dfrac{4(-1)-2}{-1-2} = \dfrac{-6}{-3} = 2$.

$\gamma$ par substitution (multiplier par $(X-2)$, évaluer en $2$) : $\gamma = \dfrac{4(2)-2}{(2+1)^2} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$.

$\alpha$ par identification : on utilise une valeur particulière, par exemple $X=0$ :

donc $\alpha = 1 - 2 + \dfrac{1}{3} = -\dfrac{2}{3}$.

Finalement : $F(X) = \dfrac{-2/3}{X+1} + \dfrac{2}{(X+1)^2} + \dfrac{2/3}{X-2}$.

### 8. Méthode pratique : résumé des étapes

1. Vérifier que $F=A/B$ est irréductible (sinon simplifier).
2. Si $\deg A \geq \deg B$, extraire la partie entière par division euclidienne.
3. Factoriser le dénominateur en facteurs irréductibles sur $\mathbb{R}$.
4. Écrire la forme générale de la décomposition (un terme par puissance de chaque facteur).
5. Calculer les coefficients des pôles simples par substitution ; pour les pôles multiples, combiner substitution (puissance la plus haute) et identification (valeurs particulières ou comparaison des coefficients) pour les autres.
6. Vérifier en réduisant au même dénominateur.

### 9. Synthèse

| Notion | Définition / formule |
|---|---|
| Pôle d'ordre $k$ | racine d'ordre $k$ du dénominateur (irréductible) |
| Partie entière | quotient de la division euclidienne $A$ par $B$ |
| Pôle simple $a$ | coefficient $\alpha = A(a)/B'(a)$ |
| Décomposition (réel) | somme de termes $\dfrac{\alpha}{(X-a)^\ell}$ et $\dfrac{\beta X+\gamma}{(X^2+bX+c)^\ell}$ |