Licence 2Probabilités

Variables aléatoires continues

18 min1 exerciceSéquence 1.1 — Licence 2

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Durée : 18 min

Une variable aléatoire $X$ est continue s'il existe une fonction $f \geq 0$ (densité) telle que :

P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\, dx \quad \text{avec} \quad \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, dx = 1

E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\, dx

V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x)\, dx - \mu^2

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)

Pour la loi normale standard $\mathcal{N}(0, 1)$ : $\mu = 0$ , $\sigma = 1$ .

Si $X \sim \mathcal{N}(0, 1)$ , quelle est la probabilité $P(-1 \leq X \leq 1)$ approximativement ?

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