Arbres pondérés et formule des probabilités totales

Arbre pondéré

Un arbre pondéré représente une situation à plusieurs étapes. Chaque branche porte une probabilité, et :

- La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$.

- La probabilité associée à un chemin (de la racine à une feuille) s'obtient en multipliant les probabilités des branches traversées (formule des probabilités composées).

- La probabilité d'un événement représenté par plusieurs chemins s'obtient en additionnant les probabilités de ces chemins.

Exemple

Une urne $A$ contient $70\%$ de boules rouges, une urne $B$ en contient $20\%$. On choisit l'urne $A$ avec probabilité $0{,}6$ et l'urne $B$ avec probabilité $0{,}4$, puis on tire une boule.

Arbre :

- Branche $A$ (probabilité $0{,}6$) → branche $R$ sachant $A$ (probabilité $0{,}7$) : chemin $A\cap R$, probabilité $0{,}6\times0{,}7=0{,}42$.
- Branche $A$ (probabilité $0{,}6$) → branche $\overline{R}$ sachant $A$ (probabilité $0{,}3$) : chemin $A\cap\overline{R}$, probabilité $0{,}18$.
- Branche $B$ (probabilité $0{,}4$) → branche $R$ sachant $B$ (probabilité $0{,}2$) : chemin $B\cap R$, probabilité $0{,}08$.
- Branche $B$ (probabilité $0{,}4$) → branche $\overline{R}$ sachant $B$ (probabilité $0{,}8$) : chemin $B\cap\overline{R}$, probabilité $0{,}32$.

Formule des probabilités totales

Si $A_1, A_2, \ldots, A_n$ forment une partition de l'univers $\Omega$ (ils sont deux à deux incompatibles et leur réunion est $\Omega$, avec chaque $P(A_i)\neq 0$), alors pour tout événement $B$ :

$$P(B) = P(A_1)\times P_{A_1}(B) + P(A_2)\times P_{A_2}(B) + \cdots + P(A_n)\times P_{A_n}(B)$$

Exemple (suite)

Avec la partition $\{A, B\}$ (on choisit forcément une urne) :

On retrouve bien la somme des deux chemins menant à $R$ dans l'arbre : $0{,}42+0{,}08=0{,}5$.