1èreProbabilités

Probabilité conditionnelle

25 min5 exercicesSéquence 1.1 — 1ère

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Durée : 25 min

Définition

Soient $A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$ , avec $P(A) \neq 0$ . La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ , notée $P_A(B)$ , est définie par :

P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}

Cela se lit : « la probabilité de $B$ , sachant que $A$ est déjà réalisé ». On restreint l'univers à $A$ et on regarde la proportion de $B$ à l'intérieur de $A$ .

Exemple

Dans une classe de $30$ élèves, $18$ pratiquent un sport ( $S$ ) et parmi eux, $12$ pratiquent aussi la musique ( $M$ ). On choisit un élève au hasard.

P(S) = \dfrac{18}{30} = 0{,}6 \qquad P(S\cap M) = \dfrac{12}{30} = 0{,}4

P_S(M) = \dfrac{P(S\cap M)}{P(S)} = \dfrac{0{,}4}{0{,}6} = \dfrac{2}{3}

Formule des probabilités composées

En réarrangeant la définition, on obtient :

P(A\cap B) = P(A)\times P_A(B)

C'est cette formule qui est utilisée pour calculer les probabilités le long des branches d'un arbre pondéré.

Propriétés

- $0 \leqslant P_A(B) \leqslant 1$
- $P_A(B) + P_A(\overline{B}) = 1$ (la probabilité conditionnelle, à $A$ fixé, est bien une probabilité sur $\Omega$ )
- En général, $P_A(B) \neq P_B(A)$ : il ne faut pas confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$ .

Exemple (suite)

P_S(\overline{M}) = 1-P_S(M) = 1-\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}

Cela signifie qu'un tiers des sportifs ne font pas de musique.

Exercices

La probabilité conditionnelle $P_A(B)$ est définie par :

En général, $P_A(B)$ est égal à $P_B(A)$ .

On donne $P(A) = 0{,}4$ et $P(A\cap B) = 0{,}1$ . Quelle est la valeur de $P_A(B)$ ?

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