Indépendance de deux événements

Définition

Deux événements $A$ et $B$ (avec $P(A)\neq 0$) sont indépendants si :

$$P_A(B) = P(B)$$

Autrement dit, savoir que $A$ s'est réalisé ne change rien à la probabilité de $B$.

Caractérisation équivalente

$A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :

$$P(A\cap B) = P(A)\times P(B)$$

Cette formule est souvent plus pratique à utiliser, car elle ne nécessite pas de calculer $P_A(B)$ au préalable.

Exemple

On lance un dé équilibré à 6 faces. Soit $A$ : « obtenir un nombre pair » et $B$ : « obtenir un multiple de 3 ».

$A\cap B$ : « obtenir un nombre pair et multiple de 3 », c'est-à-dire $6$ : $P(A\cap B) = \dfrac{1}{6}$.

On vérifie : $P(A)\times P(B) = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} = P(A\cap B)$.

Donc $A$ et $B$ sont indépendants.

Attention à ne pas confondre

Indépendance ($P(A\cap B)=P(A)P(B)$) et incompatibilité ($A\cap B=\varnothing$, donc $P(A\cap B)=0$) sont deux notions très différentes !

Si $A$ et $B$ sont incompatibles et tous deux de probabilité non nulle, ils ne peuvent pas être indépendants (sauf cas trivial), car $P(A\cap B)=0 \neq P(A)P(B)$ en général.

Exemple de vérification d'indépendance

Dans une classe, $P(F)=0{,}5$ (être une fille) et $P(R)=0{,}3$ (être redoublant), avec $P(F\cap R) = 0{,}15$.

On vérifie : $P(F)\times P(R) = 0{,}5\times0{,}3=0{,}15=P(F\cap R)$.

Les événements $F$ et $R$ sont donc indépendants dans cette classe.