Arbres pondérés et formule des probabilités totales

Arbres pondérés à plusieurs niveaux

Un arbre pondéré permet de représenter une succession d'expériences. À chaque branche, on indique une probabilité (simple à la racine, conditionnelle pour les niveaux suivants).

Règles de lecture d'un arbre :

- la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$ ;

- la probabilité d'un "chemin" (succession de branches) s'obtient en multipliant les probabilités le long du chemin (formule des probabilités composées) ;

- la probabilité d'un événement correspondant à plusieurs chemins s'obtient en additionnant les probabilités de ces chemins.

Partition de l'univers et probabilités totales

Définition : des événements $A_1, A_2, \ldots, A_n$ forment une partition de l'univers s'ils sont deux à deux incompatibles et si leur réunion est l'univers tout entier (autrement dit, un et un seul des $A_i$ se réalise à chaque issue).

Formule des probabilités totales : si $A_1,\ldots,A_n$ forment une partition de l'univers (chacun de probabilité non nulle), alors pour tout événement $B$ :

$$P(B) = P(A_1)\times P_{A_1}(B) + P(A_2)\times P_{A_2}(B) + \cdots + P(A_n)\times P_{A_n}(B)$$

C'est exactement ce que traduit un arbre pondéré : on additionne les probabilités de tous les chemins menant à $B$.

Exemple détaillé

Une entreprise reçoit des pièces de deux fournisseurs : $F_1$ (60\% des pièces) et $F_2$ (40\% des pièces). Le taux de pièces défectueuses ($D$) est de $5\%$ chez $F_1$ et de $8\%$ chez $F_2$.

On a $P(F_1)=0{,}6$, $P(F_2)=0{,}4$, $P_{F_1}(D)=0{,}05$, $P_{F_2}(D)=0{,}08$. Comme $F_1$ et $F_2$ forment une partition de l'univers :

Donc $6{,}2\%$ des pièces reçues sont défectueuses, toutes provenances confondues.