Probabilité conditionnelle : rappels et approfondissement

Rappel de la définition

Définition : soit $A$ et $B$ deux événements d'un même univers, avec $P(A) \neq 0$. La probabilité de $B$ sachant $A$, notée $P_A(B)$, est définie par :

$$P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$$

On en déduit la formule des probabilités composées :

Propriétés de $P_A$

La fonction $P_A$ se comporte comme une probabilité sur l'univers réduit à $A$ :

- $P_A(\overline{B}) = 1 - P_A(B)$ (probabilité de l'événement contraire, sachant $A$) ;
- $0 \leqslant P_A(B) \leqslant 1$ ;
- pour deux événements $B$ et $C$ incompatibles, $P_A(B \cup C) = P_A(B) + P_A(C)$.

Exemple : dans une classe, $60\%$ des élèves pratiquent un sport ($S$), et parmi les sportifs, $80\%$ ont la moyenne en mathématiques ($M$). On a $P(S)=0{,}6$ et $P_S(M)=0{,}8$.

Donc $48\%$ des élèves de la classe sont à la fois sportifs et ont la moyenne en mathématiques.

Attention à ne pas confondre : $P_A(B)$ (probabilité de $B$ sachant $A$) et $P_B(A)$ (probabilité de $A$ sachant $B$) sont en général différentes.