Indépendance de deux événements

Définition de l'indépendance

Définition : deux événements $A$ et $B$ (de probabilités non nulles) sont indépendants si la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre, ce qui se traduit par :

$$P_A(B) = P(B) \qquad \text{(de façon équivalente : } P_B(A)=P(A)\text{)}$$

Caractérisation pratique (la plus utilisée) : $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :

$$P(A\cap B) = P(A)\times P(B)$$

Exemple : on lance un dé équilibré à 6 faces. Soit $A$ = "obtenir un nombre pair" et $B$ = "obtenir un multiple de 3". On a $P(A)=\dfrac12$, $P(B)=\dfrac13$, et $A\cap B$ = "obtenir 6" donc $P(A\cap B)=\dfrac16$.

On vérifie : $P(A)\times P(B) = \dfrac12\times\dfrac13=\dfrac16 = P(A\cap B)$. Donc $A$ et $B$ sont indépendants.

Piège classique : indépendance et incompatibilité sont deux notions très différentes. Deux événements incompatibles ($A\cap B=\emptyset$) ne sont indépendants que si l'un des deux est de probabilité nulle (cas limite sans intérêt pratique). Ne confonds jamais ces deux notions.

Indépendance et répétition d'expériences

Lorsqu'on répète plusieurs fois une même expérience de façon indépendante (par exemple plusieurs lancers de dé ou de pièce), la probabilité d'une suite de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat. C'est ce principe qui justifie la formule de la loi binomiale étudiée par ailleurs.