Lois normale et exponentielle

Lois normale et exponentielle

1. Loi normale (gaussienne) $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$

$\mathbb{E}[X]=\mu$, $\text{Var}(X)=\sigma^2$.

Loi normale standard : $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$, densité $\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$.

Standardisation : Si $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, alors $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim\mathcal{N}(0,1)$.

Calcul de probabilités : $P(X\leq x)=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$ où $\Phi$ est la fonction de répartition de $\mathcal{N}(0,1)$.

Symétrie : $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$.

2. Loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$

$\mathbb{E}[X]=1/\lambda$, $\text{Var}(X)=1/\lambda^2$.

Propriété sans mémoire : $P(X>s+t|X>s)=P(X>t)$.

Lien avec Poisson : si des événements arrivent selon un processus de Poisson de taux $\lambda$, le temps entre deux événements suit $\mathcal{E}(\lambda)$.

3. Stabilité par somme

- Si $X_i\sim\mathcal{N}(\mu_i,\sigma_i^2)$ indépendantes : $\sum X_i\sim\mathcal{N}(\sum\mu_i,\sum\sigma_i^2)$.
- Si $X_i\sim\mathcal{E}(\lambda)$ i.i.d. : $\sum_{i=1}^n X_i\sim\text{Gamma}(n,\lambda)$.