Variables aléatoires continues et densités

Variables aléatoires continues

1. Définition

Une v.a. $X$ est continue si sa fonction de répartition $F_X(t)=P(X\leq t)$ est continue et s'écrit :

où $f\geq0$ est la densité de probabilité de $X$.

Propriétés de la densité :
- $f(x)\geq0$ pour tout $x$
- $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$
- $P(a\leq X\leq b)=\int_a^b f(x)dx$
- $P(X=c)=0$ pour tout $c$ (v.a. continue)

2. Espérance et variance

3. Loi uniforme $\mathcal{U}([a,b])$

$\mathbb{E}[X]=\frac{a+b}{2}$, $\text{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$.

4. Changement de variable

Si $Y=g(X)$ avec $g$ bijective différentiable :

5. Fonction de répartition et quantiles

Le quantile d'ordre $p$ est $q_p=F_X^{-1}(p)$ : $P(X\leq q_p)=p$.

La médiane est $q_{0.5}$.