Licence 2Probabilités

Théorème central limite

50 min15 exercicesSéquence 3.3 — Licence 2

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Durée : 50 min

Théorème central limite (TCL)

LGN faible : Si $(X_n)$ sont i.i.d. avec $\mathbb{E}[X_1]=\mu$ fini :

\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{P} \mu \quad (n\to\infty)

LGN forte : convergence presque sûre.

Si $(X_n)$ i.i.d. avec $\mathbb{E}[X]=\mu$ et $\text{Var}(X)=\sigma^2<\infty$ :

\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)

Équivalent : $\sum_{i=1}^n X_i \approx \mathcal{N}(n\mu, n\sigma^2)$ pour $n$ grand.

Approximation normale de la binomiale : si $n$ grand, $p$ pas trop proche de $0$ ou $1$ ( $np\geq5$ , $n(1-p)\geq5$ ) :

B(n,p) \approx \mathcal{N}(np, np(1-p))

Correction de continuité : $P(X=k)\approx P(k-0.5\leq Y\leq k+0.5)$ où $Y\sim\mathcal{N}$ .

$(X_n)$ converge en loi vers $X$ si $\forall x$ point de continuité de $F_X$ : $F_{X_n}(x)\to F_X(x)$ .

Implications : convergence en loi $\Leftarrow$ convergence en probabilité $\Leftarrow$ convergence p.s.

Pour un grand échantillon $(X_1,\ldots,X_n)$ i.i.d. de moyenne $\mu$ inconnue et variance $\sigma^2$ connue :

IC_{95\%}(\mu) = \left[\bar{X}_n - \frac{1.96\sigma}{\sqrt{n}},\; \bar{X}_n + \frac{1.96\sigma}{\sqrt{n}}\right]

Vrai ou faux : Le TCL s'applique à toute suite i.i.d. de variables aléatoires.

Pour $X_i$ i.i.d. $\mathcal{N}(0,1)$ , la somme $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$ suit :

Vrai ou faux : La LGN dit que $\bar{X}_n\to\mathbb{E}[X]$ en probabilité.

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