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1èreGéométrie

Applications : théorème d'Al-Kashi et projection

20 min5 exercicesSéquence 3.3 — 1ère
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Durée : 20 min

Théorème d'Al-Kashi

Dans un triangle ABCABC, en notant a=BCa=BC, b=CAb=CA, c=ABc=AB et A^\widehat{A} l'angle en AA, le théorème d'Al-Kashi (généralisation de Pythagore) énonce :

a2=b2+c2−2bccos⁡A^a^2 = b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}

Démonstration rapide (à l'aide du produit scalaire)

On écrit BC⃗=AC⃗−AB⃗\vec{BC} = \vec{AC}-\vec{AB}, donc :

BC2=∥AC⃗−AB⃗∥2=∥AC⃗∥2−2AC⃗⋅AB⃗+∥AB⃗∥2=b2+c2−2bccos⁡A^BC^2 = \|\vec{AC}-\vec{AB}\|^2 = \|\vec{AC}\|^2-2\vec{AC}\cdot\vec{AB}+\|\vec{AB}\|^2 = b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}

car AB⃗⋅AC⃗=AB×AC×cos⁡A^=cbcos⁡A^\vec{AB}\cdot\vec{AC} = AB\times AC\times\cos\widehat{A} = cb\cos\widehat{A}.

Exemple

Dans un triangle ABCABC avec AB=5AB=5, AC=7AC=7 et A^=60°\widehat{A}=60° :

BC2=52+72−2×5×7×cos⁡(60°)=25+49−70×12=74−35=39BC^2 = 5^2+7^2-2\times5\times7\times\cos(60°) = 25+49-70\times\dfrac{1}{2} = 74-35=39

BC=39BC = \sqrt{39}

Projection orthogonale

Si HH est le projeté orthogonal de CC sur la droite (AB)(AB), alors :

AB⃗⋅AC⃗=AB⃗⋅AH⃗=AB×AH‾\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \vec{AB}\cdot\vec{AH} = AB \times \overline{AH}

où AH‾\overline{AH} est la mesure algébrique de AH⃗\vec{AH} sur la droite (AB)(AB).

Cette propriété permet de calculer un produit scalaire en se ramenant à une projection, sans connaître l'angle directement.

Exemple

Si AB=10AB=10 et que le projeté orthogonal HH de CC sur (AB)(AB) vérifie AH‾=4\overline{AH}=4 (dans le même sens que AB⃗\vec{AB}), alors :

AB⃗⋅AC⃗=10×4=40\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 10\times4=40

Exercices

Le théorème d'Al-Kashi généralise :

Le théorème d'Al-Kashi ne s'applique qu'aux triangles rectangles.

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