Définition du produit scalaire

Produit scalaire avec les coordonnées

Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ sont deux vecteurs, le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u}\cdot\vec{v}$, est le nombre réel défini par :

Exemple

$\vec{u}\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}$ :

Norme d'un vecteur

La norme de $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ est :

On remarque que $\vec{u}\cdot\vec{u} = x^2+y^2 = \|\vec{u}\|^2$.

Produit scalaire avec angle et normes

Pour deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ formant un angle $\theta = (\widehat{\vec{u}\,;\,\vec{v}})$ :

$$\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos\theta$$

Exemple

Si $\|\vec{u}\|=4$, $\|\vec{v}\|=5$ et l'angle entre eux est $\theta=60°$ :

Propriétés du produit scalaire

Le produit scalaire est :
- symétrique : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}$ ;
- bilinéaire : $\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}$, et $(k\vec{u})\cdot\vec{v} = k(\vec{u}\cdot\vec{v})$ pour tout réel $k$ ;
- nul si l'un des deux vecteurs est nul.

Attention : le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel, pas un vecteur !