Orthogonalité de deux vecteurs

Caractérisation de l'orthogonalité

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

$$\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\cdot\vec{v} = 0$$

Cela découle de la formule $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$ : pour des vecteurs non nuls, le produit scalaire est nul exactement quand $\cos\theta=0$, soit $\theta=90°$.

Exemple

$\vec{u}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}$ :

Donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

Application : droites perpendiculaires

Deux droites de vecteurs directeurs respectifs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont perpendiculaires si et seulement si $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.

Exemple

Soit la droite $d_1$ de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ et $d_2$ de vecteur directeur $\vec{v}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$.

Les droites $d_1$ et $d_2$ sont donc perpendiculaires.

Vecteur normal à une droite

Un vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ non nul est dit normal à une droite $d$ s'il est orthogonal à tout vecteur directeur de $d$. Une droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$ admet $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ comme vecteur normal.

Identités remarquables avec le produit scalaire :

$$\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2$$

$$\|\vec{u}-\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2$$