Compacité et connexité

Compacité et connexité

1. Compacité séquentielle

Soit $(E,d)$ un espace métrique. Une partie $K\subset E$ est compacte (au sens séquentiel — c'est l'approche la plus pédagogique en espace métrique, équivalente à la compacité par recouvrements ouverts) si toute suite d'éléments de $K$ admet une sous-suite convergeant vers un élément de $K$.

Définition par recouvrements (équivalente, pour information) : $K$ est compacte si de tout recouvrement de $K$ par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini. En dimension finie, les deux définitions coïncident (théorème de Borel-Lebesgue) ; nous privilégions ici la formulation séquentielle, plus maniable au niveau L2.

Propriété immédiate : un compact est nécessairement fermé et borné.

Idée de preuve (fermé) : si $x_n\in K$ converge vers $\ell\in E$, alors toute sous-suite converge aussi vers $\ell$ ; par compacité une sous-suite converge vers un élément de $K$, donc $\ell\in K$ par unicité de la limite. Idée de preuve (borné) : si $K$ n'était pas bornée, on pourrait construire une suite $(x_n)$ de $K$ avec $d(x_n,x_0)\to\infty$, qui n'admettrait alors aucune sous-suite convergente.

2. Théorème de Heine-Borel (admis)

Théorème (Heine-Borel, cas $\mathbb{R}^n$) : une partie $K\subset\mathbb{R}^n$ est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.

C'est un résultat spécifique à la dimension finie (et plus généralement à $\mathbb{R}^n$ muni de la distance euclidienne, ou de toute distance équivalente comme $d_1,d_2,d_\infty$) : en dimension infinie, fermé + borné ne suffit plus à garantir la compacité.

Théorème de Bolzano-Weierstrass (admis) : toute suite bornée de $\mathbb{R}^n$ admet une sous-suite convergente. C'est essentiellement le cœur de la preuve de Heine-Borel : sur un fermé borné, toute suite est bornée donc (Bolzano-Weierstrass) admet une sous-suite convergente, dont la limite reste dans le fermé.

Exemples : $[0,1]$, $[a,b]$, toute boule fermée $\overline{B}(x_0,r)$ dans $\mathbb{R}^n$, tout ensemble fini, sont compacts. En revanche, $\mathbb{R}$ n'est pas compact (non borné), $]0,1[$ n'est pas compact (non fermé : la suite $1/n\to0\notin\,]0,1[$ n'a pas de sous-suite convergeant dans $]0,1[$), $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ n'est pas compact (non fermé dans $\mathbb{R}$, bien que borné).

3. Propriétés des compacts

Image continue d'un compact : si $f:K\to F$ est continue et $K$ compact, alors $f(K)$ est compact. En particulier, si $f:K\to\mathbb{R}$ est continue sur un compact, $f$ est bornée et atteint ses bornes (théorème des bornes atteintes, généralisation du résultat connu sur $[a,b]$).

Intersection et réunion : une intersection quelconque de compacts est compacte (c'est un fermé inclus dans un compact donné, donc borné). Une réunion finie de compacts est compacte.

4. Connexité

Une partie $A\subset E$ (ou l'espace $E$ tout entier) est connexe si elle ne peut pas s'écrire comme réunion de deux ouverts (relatifs à $A$) non vides et disjoints. De façon équivalente, $A$ est connexe si les seules parties de $A$ à la fois ouvertes et fermées dans $A$ sont $\emptyset$ et $A$ lui-même.

Intuition : un connexe est "fait d'un seul morceau", on ne peut pas le séparer en deux ouverts disjoints non vides.

Théorème : les parties connexes de $\mathbb{R}$ sont exactement les intervalles (y compris $\mathbb{R}$, les demi-droites, les singletons, $\emptyset$).

Idée de preuve (intervalle $\Rightarrow$ connexe) : si $I$ n'était pas connexe, $I=U_1\cup U_2$ avec $U_1,U_2$ ouverts relatifs non vides disjoints. En prenant $a\in U_1$, $b\in U_2$ (disons $a<b$), et $c=\sup\{x\in[a,b]: x\in U_1\}$, on montre que $c$ ne peut être ni dans $U_1$ ni dans $U_2$, contredisant $c\in I=U_1\cup U_2$ (c'est l'argument standard utilisant la propriété de la borne supérieure de $\mathbb{R}$). Idée de preuve (non-intervalle $\Rightarrow$ non connexe) : si $A$ n'est pas un intervalle, il existe $a<c<b$ avec $a,b\in A$ et $c\notin A$ ; alors $A\cap\,]-\infty,c[$ et $A\cap\,]c,+\infty[$ forment une partition de $A$ en deux ouverts relatifs non vides disjoints.

Image continue d'un connexe : si $f$ est continue sur $A$ connexe, alors $f(A)$ est connexe. C'est la formulation topologique du théorème des valeurs intermédiaires : l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

5. Connexité par arcs (notion complémentaire)

$A$ est connexe par arcs si pour tous $x,y\in A$, il existe un chemin continu $\gamma:[0,1]\to A$ avec $\gamma(0)=x$, $\gamma(1)=y$. La connexité par arcs implique la connexité (mais la réciproque est fausse en général — exemple classique : le "peigne du topologue", hors-programme ici). Pour les parties usuelles de $\mathbb{R}^n$ (ouverts, convexes), les deux notions coïncident en pratique.

6. Exemple résolu de synthèse

Énoncé : $A=[0,1]\cup[2,3]\subset\mathbb{R}$ est-il compact ? Est-il connexe ?

Résolution : $A$ est compact : c'est une réunion finie de deux compacts $[0,1]$ et $[2,3]$ (fermés bornés de $\mathbb{R}$, donc compacts par Heine-Borel), donc $A$ est compact (réunion finie de compacts). En revanche $A$ n'est pas connexe : $A = (A\cap\,]-1,1{,}5[) \cup (A\cap\,]1{,}5,4[) = [0,1]\cup[2,3]$, qui sont deux ouverts relatifs de $A$, non vides, disjoints. $A$ n'est d'ailleurs pas un intervalle, ce qui confirme par le théorème de caractérisation qu'il n'est pas connexe.