Distances et normes

Distances et normes

1. Définition axiomatique d'une distance

Soit $E$ un ensemble non vide. Une distance (ou métrique) sur $E$ est une application

vérifiant, pour tous $x, y, z \in E$ :

1. Séparation : $d(x,y) = 0 \iff x = y$ ;
2. Symétrie : $d(x,y) = d(y,x)$ ;
3. Inégalité triangulaire : $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$.

Le couple $(E,d)$ est appelé espace métrique. La positivité $d(x,y) \geq 0$ pour tous $x,y$ n'est pas un axiome indépendant : elle se déduit des trois précédents. En effet, en appliquant l'inégalité triangulaire à $x,y,x$ : $d(x,x) \leq d(x,y) + d(y,x) = 2d(x,y)$, et $d(x,x) = 0$ par séparation, donc $0 \leq 2d(x,y)$, soit $d(x,y) \geq 0$.

Conséquence utile (seconde inégalité triangulaire) : pour tous $x,y,z \in E$,

Preuve : $d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)$ donne $d(x,z)-d(y,z) \leq d(x,y)$. En échangeant $x$ et $y$ : $d(y,z)-d(x,z) \leq d(x,y)$. Les deux inégalités donnent $|d(x,z)-d(y,z)| \leq d(x,y)$.

2. Exemples fondamentaux de distances

Distance euclidienne usuelle sur $\mathbb{R}^n$ : pour $x=(x_1,\ldots,x_n)$, $y=(y_1,\ldots,y_n)$,

C'est la distance "à vol d'oiseau". Sur $\mathbb{R}$ ($n=1$), $d_2(x,y) = |x-y|$.

Distance discrète : sur un ensemble $E$ quelconque, on pose $d(x,y) = 0$ si $x=y$ et $d(x,y)=1$ sinon. On vérifie aisément les trois axiomes (l'inégalité triangulaire est immédiate : si $x \neq z$, alors $x \neq y$ ou $y \neq z$, donc $d(x,y)+d(y,z) \geq 1 = d(x,z)$).

Distances $d_1$, $d_2$, $d_\infty$ sur $\mathbb{R}^n$ :

Ces trois distances vérifient l'encadrement suivant, pour tous $x,y \in \mathbb{R}^n$ :

Preuve de $d_\infty \leq d_2$ : notons $k$ l'indice réalisant le maximum, $|x_k-y_k| = d_\infty(x,y)$. Alors $d_\infty(x,y)^2 = |x_k-y_k|^2 \leq \sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^2 = d_2(x,y)^2$, d'où $d_\infty(x,y) \leq d_2(x,y)$ (les deux membres sont positifs).

Preuve de $d_2 \leq d_1$ : posons $a_i = |x_i-y_i| \geq 0$. On a $d_2(x,y)^2 = \sum_i a_i^2 \leq \sum_i a_i^2 + \sum_{i\neq j} a_i a_j = \left(\sum_i a_i\right)^2 = d_1(x,y)^2$ car les doubles produits $a_i a_j$ ($i \neq j$) sont positifs. D'où $d_2(x,y) \leq d_1(x,y)$.

Preuve de $d_1 \leq n\,d_\infty$ : $d_1(x,y) = \sum_{i=1}^n |x_i-y_i| \leq \sum_{i=1}^n d_\infty(x,y) = n\, d_\infty(x,y)$.

Ces trois distances sont donc équivalentes : elles définissent la même notion de convergence et la même topologie sur $\mathbb{R}^n$ (une suite converge pour l'une si et seulement si elle converge pour les autres, vers la même limite).

3. Norme et distance associée

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. Une norme sur $E$ est une application $\|\cdot\| : E \to \mathbb{R}_+$ vérifiant, pour tous $x,y \in E$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ :

1. Séparation : $\|x\| = 0 \iff x = 0$ ;
2. Homogénéité : $\|\lambda x\| = |\lambda| \, \|x\|$ ;
3. Inégalité triangulaire (sous-additivité) : $\|x+y\| \leq \|x\| + \|y\|$.

Proposition : Si $\|\cdot\|$ est une norme sur $E$, alors $d(x,y) := \|x-y\|$ définit une distance sur $E$, dite distance associée à la norme (ou distance induite).

Preuve : Séparation : $d(x,y)=0 \iff \|x-y\|=0 \iff x-y=0 \iff x=y$. Symétrie : $d(y,x) = \|y-x\| = \|-(x-y)\| = |-1|\,\|x-y\| = \|x-y\| = d(x,y)$. Inégalité triangulaire : $d(x,z) = \|x-z\| = \|(x-y)+(y-z)\| \leq \|x-y\|+\|y-z\| = d(x,y)+d(y,z)$.

Une distance associée à une norme possède deux propriétés supplémentaires que n'a pas une distance quelconque : l'invariance par translation ($d(x+a,y+a)=d(x,y)$) et l'homogénéité ($d(\lambda x, \lambda y) = |\lambda|\,d(x,y)$). La distance discrète, par exemple, n'est associée à aucune norme sur un espace vectoriel non nul, car elle ne vérifie pas l'homogénéité (sauf cas trivial).

Les normes usuelles sur $\mathbb{R}^n$ sont $\|x\|_1 = \sum |x_i|$, $\|x\|_2 = \sqrt{\sum x_i^2}$, $\|x\|_\infty = \max_i |x_i|$, dont les distances associées sont précisément $d_1$, $d_2$, $d_\infty$.

4. Boules ouvertes et fermées

Soit $(E,d)$ un espace métrique, $a \in E$ et $r > 0$.

Boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r$ : $B(a,r) = \{x \in E : d(a,x) < r\}$.

Boule fermée de centre $a$ et de rayon $r$ : $\overline{B}(a,r) = \{x \in E : d(a,x) \leq r\}$.

Sphère de centre $a$ et de rayon $r$ : $S(a,r) = \{x \in E : d(a,x) = r\}$.

Exemple : dans $(\mathbb{R}^2, d_\infty)$, la boule ouverte $B(0,1)$ est un carré ouvert de côté $2$ (sans son bord), centré en l'origine, à côtés parallèles aux axes — car $d_\infty(0,x) < 1 \iff \max(|x_1|,|x_2|) < 1 \iff |x_1|<1 \text{ et } |x_2|<1$. Dans $(\mathbb{R}^2,d_1)$, $B(0,1)$ est un carré "tourné à 45°" (un losange) de sommets $(\pm 1,0)$ et $(0,\pm 1)$. Dans $(\mathbb{R}^2,d_2)$, c'est le disque ouvert usuel.

Dans l'espace discret, pour $0 < r \leq 1$, $B(a,r) = \{a\}$ : toute boule de rayon assez petit est réduite à son centre.

5. Distance d'un point à une partie

Soit $A \subset E$ une partie non vide et $x \in E$. On définit la distance de $x$ à $A$ par

Cette borne inférieure existe toujours dans $\mathbb{R}_+$ car l'ensemble $\{d(x,a) : a \in A\}$ est non vide et minoré par $0$.

Propriété : $d(x,A) = 0$ si et seulement si pour tout $\varepsilon>0$, il existe $a \in A$ tel que $d(x,a) < \varepsilon$ — c'est-à-dire $x$ est "infiniment proche" de $A$ sans nécessairement appartenir à $A$. (Ce critère sera relié à l'adhérence de $A$ dans la leçon suivante.)

Exemple résolu : dans $(\mathbb{R}, |\cdot|)$, soit $A = \,]0,1[$ et $x=1$. Alors $d(1,A) = \inf_{a \in ]0,1[} |1-a| = \inf_{a\in]0,1[} (1-a) = 0$, atteint à la limite quand $a \to 1^-$ mais jamais réalisé puisque $1 \notin A$. On a bien $d(1,A)=0$ bien que $1 \notin A$.

6. Distance entre deux parties, diamètre, parties bornées

Distance entre deux parties $A, B \subset E$ non vides : $d(A,B) = \inf_{a\in A, b \in B} d(a,b)$. Attention, $d(A,B)=0$ n'implique pas $A \cap B \neq \emptyset$ (par exemple $A=\,]0,1[$ et $B=\,]1,2[$ dans $\mathbb{R}$ : $d(A,B)=0$ mais $A \cap B = \emptyset$).

Diamètre d'une partie : $\operatorname{diam}(A) = \sup_{x,y \in A} d(x,y) \in \mathbb{R}_+ \cup \{+\infty\}$.

Partie bornée : $A \subset E$ est bornée si $\operatorname{diam}(A) < +\infty$, ce qui équivaut à : il existe $a \in E$ et $R>0$ tels que $A \subset \overline{B}(a,R)$.

Preuve de l'équivalence : si $A \subset \overline{B}(a,R)$, alors pour $x,y \in A$, $d(x,y) \leq d(x,a)+d(a,y) \leq 2R$ par inégalité triangulaire, donc $\operatorname{diam}(A) \leq 2R < +\infty$. Réciproquement, si $\operatorname{diam}(A) = D < +\infty$ et $a \in A$ fixé (si $A\neq\emptyset$), alors pour tout $x \in A$, $d(a,x) \leq D$, donc $A \subset \overline{B}(a,D)$.

7. Exemple résolu de synthèse

Énoncé : Montrer que dans $(\mathbb{R}^2, d_2)$, le disque ouvert $A = B(0,1)$ est borné et calculer $\operatorname{diam}(A)$.

Résolution : Pour tous $x,y \in A$, $d_2(x,y) \leq d_2(x,0) + d_2(0,y) < 1+1 = 2$ par inégalité triangulaire, donc $\operatorname{diam}(A) \leq 2$ et $A$ est bornée (incluse dans $\overline{B}(0,1)$). Montrons que $\operatorname{diam}(A) = 2$ exactement : pour $\varepsilon \in \,]0,1[$, prenons $x_\varepsilon = (1-\varepsilon, 0)$ et $y_\varepsilon = (-(1-\varepsilon), 0)$, qui appartiennent bien à $A$ (leur norme est $1-\varepsilon<1$). On a $d_2(x_\varepsilon,y_\varepsilon) = 2(1-\varepsilon) \to 2$ quand $\varepsilon \to 0$. Donc $\sup_{x,y\in A} d_2(x,y) \geq 2(1-\varepsilon)$ pour tout $\varepsilon>0$, d'où $\operatorname{diam}(A) \geq 2$. Conclusion : $\operatorname{diam}(A) = 2$ (ce supremum n'est pas atteint par deux points de $A$, mais c'est bien la valeur du diamètre).