Ouverts, fermés et voisinages

Ouverts, fermés et voisinages

1. Parties ouvertes

Soit $(E,d)$ un espace métrique. Une partie $U \subset E$ est ouverte (ou un ouvert) si pour tout $x \in U$, il existe $r>0$ tel que $B(x,r) \subset U$. Intuitivement, autour de chaque point de $U$, il y a encore un peu de marge dans $U$.

Exemples : toute boule ouverte $B(a,\rho)$ est un ouvert (si $x\in B(a,\rho)$, poser $r=\rho-d(a,x)>0$ ; pour $y\in B(x,r)$, $d(a,y)\leq d(a,x)+d(x,y) < d(a,x)+r=\rho$, donc $y\in B(a,\rho)$). L'ensemble vide $\emptyset$ et $E$ tout entier sont toujours ouverts.

Propriétés fondamentales :
1. Une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert.
2. Une intersection finie d'ouverts est un ouvert.

Preuve de 1 : soit $(U_i)_{i\in I}$ une famille d'ouverts, $U=\bigcup_i U_i$, et $x\in U$. Alors $x\in U_{i_0}$ pour un certain $i_0$, donc il existe $r>0$ avec $B(x,r)\subset U_{i_0} \subset U$.

Preuve de 2 : soient $U_1,\ldots,U_n$ ouverts, $U=\bigcap_{k=1}^n U_k$, et $x\in U$. Pour chaque $k$, il existe $r_k>0$ avec $B(x,r_k)\subset U_k$. Posons $r=\min(r_1,\ldots,r_n)>0$ (minimum d'un nombre fini de réels strictement positifs). Alors $B(x,r)\subset B(x,r_k)\subset U_k$ pour tout $k$, donc $B(x,r)\subset U$.

Attention : une intersection infinie d'ouverts n'est pas forcément ouverte. Exemple : $\bigcap_{n\geq1}\,]-1/n,1/n[ = \{0\}$ dans $\mathbb{R}$, qui n'est pas ouvert.

2. Parties fermées

Une partie $F \subset E$ est fermée si son complémentaire $E\setminus F$ est ouvert.

Exemples : toute boule fermée $\overline{B}(a,\rho)$ est fermée. Un singleton $\{a\}$ est fermé. $\emptyset$ et $E$ sont fermés (et ouverts).

Propriétés (duales des ouverts, par passage au complémentaire) :
1. Une intersection quelconque de fermés est fermée.
2. Une réunion finie de fermés est fermée.

Attention : une partie peut n'être ni ouverte ni fermée (ex : $[0,1[$ dans $\mathbb{R}$), ou être à la fois ouverte et fermée (ex : $E$ tout entier, ou $\emptyset$, ou dans l'espace discret, toute partie est à la fois ouverte et fermée).

Caractérisation séquentielle des fermés : $F$ est fermée si et seulement si pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $F$ qui converge dans $E$ vers une limite $\ell$, on a $\ell \in F$ (autrement dit, $F$ est "stable par passage à la limite").

3. Intérieur et adhérence

Soit $A \subset E$ une partie quelconque.

Intérieur de $A$ : $\mathring{A}$ (ou $\operatorname{int}(A)$) est le plus grand ouvert contenu dans $A$ : $\mathring{A} = \{x \in A : \exists r>0, B(x,r)\subset A\}$. C'est la réunion de tous les ouverts inclus dans $A$.

Adhérence de $A$ : $\overline{A}$ est le plus petit fermé contenant $A$ : $\overline{A} = \{x\in E : \forall r>0, B(x,r)\cap A \neq \emptyset\}$. C'est l'intersection de tous les fermés contenant $A$.

Lien avec la distance : $x \in \overline{A} \iff d(x,A)=0$. (C'est la propriété annoncée à la fin de la leçon précédente.)

Caractérisation séquentielle : $x \in \overline{A}$ si et seulement s'il existe une suite $(a_n)$ d'éléments de $A$ telle que $a_n \to x$.

Relation de dualité : $E \setminus \overline{A} = \operatorname{int}(E\setminus A)$ et $E\setminus\mathring{A} = \overline{E\setminus A}$.

Exemple : dans $\mathbb{R}$, pour $A=\,]0,1[$, on a $\mathring{A}=\,]0,1[$ (déjà ouvert) et $\overline{A}=[0,1]$. Pour $A=\mathbb{Q}$, $\mathring{A}=\emptyset$ (aucun intervalle ouvert n'est inclus dans $\mathbb{Q}$) et $\overline{A}=\mathbb{R}$ (densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$).

Frontière : $\partial A = \overline{A}\setminus\mathring{A}$. C'est l'ensemble des points "au bord" de $A$. Pour $A=\,]0,1[$, $\partial A=\{0,1\}$.

4. Voisinages

Une partie $V\subset E$ est un voisinage du point $x$ si $V$ contient un ouvert contenant $x$ — de façon équivalente, s'il existe $r>0$ tel que $B(x,r)\subset V$.

Remarque : un ouvert $U$ est voisinage de chacun de ses points (c'est même la définition d'un ouvert reformulée). Un voisinage n'a pas besoin d'être ouvert lui-même : par exemple $[-1,1]$ est un voisinage de $0$ dans $\mathbb{R}$ (il contient $B(0,1)=\,]-1,1[$) bien qu'il ne soit pas ouvert.

Caractérisation de l'adhérence via les voisinages : $x\in\overline{A}$ si et seulement si tout voisinage de $x$ rencontre $A$.

5. Exemple résolu de synthèse

Énoncé : Dans $\mathbb{R}$, déterminer $\mathring{A}$, $\overline{A}$ et $\partial A$ pour $A = \,]0,1] \cup \{2\}$.

Résolution : L'intérieur : tout point de $]0,1[$ admet une boule (un intervalle) incluse dans $A$, donc $]0,1[\subset\mathring A$. Le point $1$ n'est pas intérieur : toute boule $]1-r,1+r[$ contient des points $>1$ qui ne sont pas dans $A$. Le point $2$ n'est pas non plus intérieur (c'est un point isolé). Donc $\mathring{A}=\,]0,1[$. L'adhérence : $\overline{]0,1]} = [0,1]$ (il faut ajouter le point $0$, limite de points de $A$), et $\{2\}$ est déjà fermé. Donc $\overline{A} = [0,1]\cup\{2\}$. La frontière : $\partial A = \overline{A}\setminus\mathring{A} = \{0,1,2\}$.