L'inégalité triangulaire

La condition d'existence d'un triangle

Pour que trois longueurs $a$, $b$ et $c$ puissent former un triangle, il faut que la plus grande longueur soit strictement inférieure à la somme des deux autres.

C'est l'inégalité triangulaire. Si cette condition n'est pas respectée, les trois segments ne peuvent pas se fermer pour former un triangle.

Exemple

Peut-on construire un triangle de côtés $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm ?

La plus grande longueur est $5$. On vérifie : $5 < 3 + 4 = 7$. ✓ C'est possible.

Contre-exemple

Peut-on construire un triangle de côtés $2$ cm, $3$ cm et $7$ cm ?

La plus grande longueur est $7$. On vérifie : $7 < 2+3 = 5$ ? Non, $7$ n'est pas inférieur à $5$. ✗ Ce n'est pas possible : les deux petits côtés sont trop courts pour « rejoindre » le grand côté.

Si $c = a+b$ exactement, les trois points sont alignés : on n'obtient pas un vrai triangle, mais un segment.