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2ndeGéométrie

Rappels de trigonométrie du triangle rectangle

14 min5 exercicesSéquence 1.1 — 2nde
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Durée : 14 min

Sinus, cosinus, tangente

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu A^\widehat{A} :

sin⁡(A^)=coˆteˊ opposeˊhypoteˊnusecos⁡(A^)=coˆteˊ adjacenthypoteˊnusetan⁡(A^)=coˆteˊ opposeˊcoˆteˊ adjacent\sin(\widehat{A}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \cos(\widehat{A}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan(\widehat{A}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}

Moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA — Sinus = Opposé/Hypoténuse, Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent.

Relation fondamentale

Pour tout angle A^\widehat{A} :

sin⁡2(A^)+cos⁡2(A^)=1tan⁡(A^)=sin⁡(A^)cos⁡(A^)\sin^2(\widehat{A}) + \cos^2(\widehat{A}) = 1 \qquad \qquad \tan(\widehat{A}) = \dfrac{\sin(\widehat{A})}{\cos(\widehat{A})}

Calculer une longueur

Exemple : dans un triangle ABCABC rectangle en AA, avec B^=40°\widehat{B} = 40° et BC=10BC=10 cm (hypoténuse), on cherche ABAB (côté adjacent à B^\widehat{B}) :

cos⁡(40°)=ABBC  ⟹  AB=BC×cos⁡(40°)=10×cos⁡(40°)≈7,66 cm\cos(40°) = \dfrac{AB}{BC} \implies AB = BC \times \cos(40°) = 10 \times \cos(40°) \approx 7{,}66 \text{ cm}

Calculer un angle

Pour trouver un angle à partir d'un rapport de longueurs connu, on utilise la fonction réciproque (touche sin⁡−1\sin^{-1}, cos⁡−1\cos^{-1} ou tan⁡−1\tan^{-1} de la calculatrice).

Exemple : si sin⁡(A^)=0,5\sin(\widehat{A}) = 0{,}5, alors A^=sin⁡−1(0,5)=30°\widehat{A} = \sin^{-1}(0{,}5) = 30°.

Exercices

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal à :

Que vaut sin⁡2(A^)+cos⁡2(A^)\sin^2(\widehat{A}) + \cos^2(\widehat{A}) pour tout angle A^\widehat{A} ?

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