Densité de probabilité et loi uniforme

Des variables discrètes aux variables continues

Jusqu'ici, les variables aléatoires étudiées (loi binomiale, par exemple) étaient discrètes : elles ne prenaient qu'un nombre fini (ou dénombrable) de valeurs, et on pouvait calculer $P(X=k)$ pour chaque valeur $k$.

Une variable aléatoire continue (ou à densité) prend, elle, toutes les valeurs d'un intervalle de $\mathbb{R}$ (par exemple un temps d'attente, une durée de vie, une mesure physique). On ne peut plus parler de la probabilité d'une valeur précise : on raisonne sur des intervalles.

> Définition — Densité de probabilité
> Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$. Une fonction $f$ définie sur $I$ est une densité de probabilité si :
> 1. $f$ est continue (ou continue par morceaux) et positive sur $I$ ;
> 2. l'intégrale de $f$ sur $I$ vaut $1$ : $\displaystyle\int_I f(t)\,dt = 1$.

Une variable aléatoire $X$ suit la loi de densité $f$ sur $I$ lorsque, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ avec $a \leqslant b$ :

### Interprétation graphique

$P(a \leqslant X \leqslant b)$ est l'aire sous la courbe représentative de $f$, entre les droites d'équation $x=a$ et $x=b$. C'est l'analogue continu des diagrammes en bâtons utilisés pour les lois discrètes : l'aire totale sous la courbe de $f$ sur $I$ vaut $1$, tout comme la somme des probabilités $P(X=k)$ vaut $1$ pour une loi discrète.

### Une conséquence essentielle : $P(X=a)=0$

Pour une loi continue, la probabilité que $X$ prenne exactement une valeur $a$ est nulle :

Il en résulte que l'on ne distingue pas les inégalités strictes des inégalités larges :

> Méthode
> 1. Identifier la densité $f$ et son intervalle de définition $I$.
> 2. Vérifier (ou admettre) que $f \geqslant 0$ et que $\displaystyle\int_I f(t)\,dt = 1$.
> 3. Pour calculer $P(a\leqslant X \leqslant b)$, calculer $\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt$ à l'aide d'une primitive de $f$.

## La loi uniforme sur $[a\,;\,b]$

> Définition
> Une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur $[a\,;\,b]$ (avec $a<b$), notée $X \sim \mathcal{U}([a\,;\,b])$, lorsque sa densité est constante sur $[a\,;\,b]$ :
>

Cette loi modélise une valeur « tirée au hasard, sans privilégier aucune zone » dans $[a\,;\,b]$ (par exemple l'heure d'arrivée d'un bus dans un intervalle, à la minute près).

Vérification que $f$ est bien une densité :

> Propriété — Probabilité pour la loi uniforme
> Si $X \sim \mathcal{U}([a\,;\,b])$, alors pour tout $[c\,;\,d] \subset [a\,;\,b]$ :
>

> (la probabilité est proportionnelle à la longueur de l'intervalle).

> Propriété — Espérance
> Si $X \sim \mathcal{U}([a\,;\,b])$, alors :
>

### Exemple résolu

Un métro passe toutes les $10$ minutes. On suppose que l'heure d'arrivée $X$ d'un voyageur sur le quai (en minutes après le passage du métro précédent) suit la loi uniforme sur $[0\,;\,10]$.

1) Quelle est la densité de $X$ ?

2) Quelle est la probabilité que le voyageur attende moins de $3$ minutes ?

Le voyageur attend moins de $3$ minutes si $X \in [7\,;\,10]$ (il arrive dans les $3$ dernières minutes avant le métro suivant) :

3) Quelle est l'attente moyenne du voyageur ?

L'attente moyenne correspond à $E(X) = \dfrac{0+10}{2} = 5$ minutes.