La loi exponentielle

Définition de la loi exponentielle

La loi exponentielle modélise des durées : durée de vie d'un composant électronique, temps d'attente avant une désintégration radioactive, durée avant une panne, etc. Contrairement à la loi uniforme, elle privilégie les petites valeurs : plus le temps passe, moins il est probable que l'événement attendu se produise « à l'instant suivant ».

> Définition
> Soit $\lambda$ un réel strictement positif. Une variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, notée $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$, lorsque sa densité est définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par :
>

Vérification que $f$ est une densité : $f$ est clairement positive sur $[0\,;\,+\infty[$. Pour l'intégrale, on cherche une primitive de $f$. La fonction $F(t) = -e^{-\lambda t}$ vérifie $F'(t) = \lambda e^{-\lambda t} = f(t)$, donc $F$ est une primitive de $f$. Ainsi, pour tout $x \geqslant 0$ :

Comme $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} e^{-\lambda x} = 0$ (car $\lambda > 0$), on obtient bien $\displaystyle\int_0^{+\infty} f(t)\,dt = 1$.

## Calcul de probabilités

Le calcul précédent donne directement la formule centrale de ce cours :

> Propriété
> Si $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$, alors pour tout réel $t \geqslant 0$ :
>

> et, par passage à l'événement contraire :
>

> Méthode
> 1. Identifier $\lambda$ et écrire la densité $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$.
> 2. Pour $P(X\leqslant t)$ ou $P(X>t)$, appliquer directement les formules ci-dessus (pas besoin de recalculer l'intégrale).
> 3. Pour $P(a \leqslant X \leqslant b)$, écrire $P(a\leqslant X\leqslant b) = P(X\leqslant b) - P(X \leqslant a) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}$.

## Espérance

> Propriété — Espérance
> Si $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$, alors :
>

Ce résultat, obtenu par calcul intégral (intégration par parties sur $\displaystyle\int_0^{+\infty} t\lambda e^{-\lambda t}\,dt$), donne la durée de vie moyenne.

## Propriété de durée de vie sans vieillissement

> Propriété — Absence de mémoire
> Si $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ modélise une durée de vie, alors pour tous réels $t,s \geqslant 0$ :
>

Cela signifie que, sachant qu'un composant a déjà fonctionné $t$ heures sans panne, la probabilité qu'il fonctionne encore $s$ heures supplémentaires est la même que la probabilité initiale qu'il fonctionne $s$ heures : le composant ne « vieillit » pas, il n'use pas sa probabilité de survie au fil du temps.

Démonstration : par définition de la probabilité conditionnelle,

(car $X>t+s$ entraîne $X>t$). Or $P(X>t+s)=e^{-\lambda(t+s)} = e^{-\lambda t}\times e^{-\lambda s}$ et $P(X>t)=e^{-\lambda t}$, donc :

### Exemple résolu

La durée de vie $X$ (en années) d'un composant électronique suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}2$.

1) Quelle est la probabilité que le composant tombe en panne avant $5$ ans ?

2) Quelle est la durée de vie moyenne du composant ?

3) Le composant fonctionne déjà depuis $3$ ans. Quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore $4$ années de plus ?

Grâce à l'absence de mémoire, $P(X>3+4\mid X>3) = P(X>4) = e^{-0{,}2\times4} = e^{-0{,}8} \approx 0{,}449$.