Synthèse : calculs de probabilités à densité

Méthodologie générale

Face à un exercice sur les variables aléatoires à densité, il faut suivre une démarche structurée.

> Méthode générale
> 1. Identifier la loi suivie par $X$ : loi uniforme sur $[a\,;\,b]$, loi exponentielle de paramètre $\lambda$, ou une densité $f$ donnée explicitement par son expression.
> 2. Écrire la formule adaptée :
> - loi uniforme : $P(c\leqslant X\leqslant d) = \dfrac{d-c}{b-a}$ ;
> - loi exponentielle : $P(X\leqslant t) = 1-e^{-\lambda t}$ et $P(X>t)=e^{-\lambda t}$ ;
> - densité quelconque : revenir à l'intégrale $P(a\leqslant X\leqslant b) = \displaystyle\int_a^b f(t)\,dt$ à l'aide d'une primitive de $f$.
> 3. Calculer numériquement, en utilisant si besoin l'événement contraire ou la décomposition $P(a\leqslant X\leqslant b) = P(X\leqslant b)-P(X\leqslant a)$.
> 4. Interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé (durée, proportion, probabilité).

## Retour sur l'espérance comme intégrale

Pour une variable aléatoire continue $X$ de densité $f$ sur un intervalle $I$, l'espérance se définit, par analogie avec la formule discrète $E(X) = \displaystyle\sum_k k\,P(X=k)$, par l'intégrale :

C'est ce calcul intégral qui permet de retrouver les formules déjà rencontrées :
- pour la loi uniforme sur $[a\,;\,b]$ : $\displaystyle E(X) = \int_a^b t\times\dfrac{1}{b-a}\,dt = \dfrac{1}{b-a}\left[\dfrac{t^2}{2}\right]_a^b = \dfrac{a+b}{2}$ ;
- pour la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ : $\displaystyle E(X) = \int_0^{+\infty} t\lambda e^{-\lambda t}\,dt = \dfrac{1}{\lambda}$ (calcul nécessitant une intégration par parties et un passage à la limite, admis en Terminale).

Cette écriture montre que tout le chapitre des probabilités à densité repose sur le calcul intégral déjà étudié en analyse : primitives, calcul d'aires, limites en $+\infty$.

### Exemple résolu combinant les deux lois

Un serveur informatique traite des requêtes. Le temps de traitement $T_1$ (en secondes) d'une requête « simple » suit la loi uniforme sur $[0\,;\,2]$, tandis que le temps avant la prochaine panne $T_2$ (en heures) suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}1$.

1) Probabilité qu'une requête simple soit traitée en moins de $0{,}5$ seconde :

2) Probabilité que le serveur fonctionne plus de $20$ heures sans panne :

3) Temps moyen avant panne :

On voit que, malgré des contextes différents (un temps borné, un temps potentiellement infini), la même méthode en quatre étapes s'applique : identifier la loi, écrire la formule, calculer, interpréter.