Échantillonnage et intervalle de fluctuation

Position du problème

Lorsqu'on prélève un échantillon de taille $n$ dans une population où une proportion $p$ possède un certain caractère, on souhaite savoir dans quelle mesure la fréquence observée $f$ du caractère dans l'échantillon peut "raisonnablement" s'éloigner de $p$, par simple effet du hasard d'échantillonnage.

Intervalle de fluctuation (introduction)

Intervalle de fluctuation asymptotique (au seuil de $95\%$) : sous certaines conditions (en particulier $n \geqslant 30$, $np\geqslant5$ et $n(1-p)\geqslant5$), la fréquence $f$ observée sur un échantillon de taille $n$ appartient, avec une probabilité d'environ $0{,}95$, à l'intervalle :

$$I_n = \left[p - 1{,}96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\,;\ p + 1{,}96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right]$$

Cet intervalle est centré sur la proportion théorique $p$, et son amplitude diminue lorsque la taille $n$ de l'échantillon augmente : plus l'échantillon est grand, plus la fréquence observée doit être proche de $p$.

Utilisation pour la prise de décision

Méthode : pour tester si une proportion annoncée $p$ semble correcte au vu d'un échantillon observé :

1. Vérifier les conditions d'application ($n\geqslant30$, $np\geqslant5$, $n(1-p)\geqslant5$).

2. Calculer l'intervalle de fluctuation $I_n$.

3. Si la fréquence observée $f$ appartient à $I_n$, l'hypothèse "la proportion vaut $p$" n'est pas remise en cause (au seuil de $95\%$). Sinon, on rejette cette hypothèse.

Exemple détaillé

Une usine affirme que $p=0{,}1$ (soit $10\%$) de sa production est défectueuse. Sur un échantillon de $n=400$ pièces, on observe $f=\dfrac{52}{400}=0{,}13$ pièces défectueuses.

Vérification des conditions : $n=400\geqslant30$ ✓, $np=40\geqslant5$ ✓, $n(1-p)=360\geqslant5$ ✓.

Calcul de l'intervalle :

Comme $f=0{,}13 \notin I_{400}$ (car $0{,}13 > 0{,}1294$), la fréquence observée dépasse légèrement la borne supérieure de l'intervalle : au seuil de $95\%$, on peut considérer que l'affirmation de l'usine est remise en cause, même si l'écart reste faible. C'est tout l'intérêt de la méthode : comparer systématiquement $f$ aux bornes de $I_n$ pour décider.