Loi binomiale : rappel, espérance et variance

Rappel : schéma de Bernoulli et loi binomiale

Épreuve de Bernoulli : expérience à deux issues possibles, "succès" (probabilité $p$) et "échec" (probabilité $1-p$).

Loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ : si on répète $n$ fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$, et que $X$ compte le nombre de succès obtenus, alors $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, et pour tout entier $k$ avec $0 \leqslant k \leqslant n$ :

$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

Espérance et variance d'une loi binomiale

Théorème (admis) : si $X \sim \mathcal{B}(n,p)$, alors :

$$E(X) = np \qquad\qquad V(X) = np(1-p) \qquad\qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$$

Ces formules évitent d'avoir à calculer la somme complète $\sum_k k\times P(X=k)$, ce qui serait très lourd pour $n$ grand.

Exemple détaillé

On lance $20$ fois un dé équilibré et on compte le nombre de fois où l'on obtient un $6$. Soit $X$ ce nombre de succès.

$X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(20\,;\,\dfrac16\right)$ (chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=\dfrac16$, répétée $20$ fois de façon indépendante).

Espérance :

Variance :

Écart-type :

On s'attend donc, en moyenne, à environ $3{,}33$ apparitions du $6$ sur $20$ lancers, avec un écart-type d'environ $1{,}67$.