Espérance, variance et écart-type

Loi de probabilité d'une variable aléatoire

Une variable aléatoire $X$ associe une valeur numérique à chaque issue d'une expérience aléatoire. Sa loi de probabilité donne, pour chaque valeur possible $x_i$, la probabilité $P(X=x_i)$.

Espérance

Définition : l'espérance de $X$, notée $E(X)$, est la moyenne des valeurs de $X$ pondérée par leurs probabilités :

$$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \times P(X=x_i)$$

L'espérance représente la valeur "moyenne" que l'on peut attendre si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois.

Variance et écart-type

Définition : la variance de $X$ mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance :

$$V(X) = \sum_{i=1}^{n} \left(x_i - E(X)\right)^2 \times P(X=x_i)$$

L'écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

Formule de König-Huygens (souvent plus pratique pour calculer) :

$$V(X) = E(X^2) - \left(E(X)\right)^2 \quad \text{où } E(X^2) = \sum_i x_i^2 \times P(X=x_i)$$

Exemple détaillé

Soit $X$ la loi de probabilité donnée par : $P(X=1)=0{,}2$, $P(X=2)=0{,}5$, $P(X=3)=0{,}3$.

Espérance :

Calcul de $E(X^2)$ :

Variance :

Écart-type :