Droites de l'espace

Vecteur directeur d'une droite

> Définition : un vecteur non nul $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$ si, pour deux points $M$ et $N$ quelconques de $\mathcal{D}$, le vecteur $\overrightarrow{MN}$ est colinéaire à $\overrightarrow{u}$.

Une droite est entièrement déterminée par un point $A$ et un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$.

## Représentation paramétrique d'une droite

Soit $A(x_0\,;\,y_0\,;\,z_0)$ un point et $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ un vecteur directeur. Un point $M(x\,;\,y\,;\,z)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$ passant par $A$ et dirigée par $\overrightarrow{u}$ si et seulement s'il existe $t \in \mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{AM} = t\,\overrightarrow{u}$.

> Représentation paramétrique :
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Chaque valeur du paramètre $t$ donne un point précis de la droite.

Exemple : la droite passant par $A(1\,;\,2\,;\,0)$ et dirigée par $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ a pour représentation paramétrique :

## Appartenance d'un point à une droite

Pour savoir si un point $M(x_M\,;\,y_M\,;\,z_M)$ appartient à $\mathcal{D}$, on résout le système formé par les trois équations en cherchant une même valeur de $t$ vérifiant les trois à la fois. Si on trouve un $t$ commun, $M \in \mathcal{D}$ ; sinon $M \notin \mathcal{D}$.

## Positions relatives de deux droites dans l'espace

Contrairement au plan, deux droites de l'espace peuvent être :

- sécantes : elles ont un seul point commun (leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, et le système associé a une solution) ;
- strictement parallèles : leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, mais elles n'ont aucun point commun ;
- confondues : leurs vecteurs directeurs sont colinéaires et elles ont un point commun (donc tous leurs points) ;
- non coplanaires : leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires et elles n'ont aucun point commun — elles ne sont contenues dans aucun plan commun.